广义坐标与约束

广义坐标是任何独立变量，用于指定系统的构型，其选择旨在吸收约束并减少需要跟踪的自由度数量。

Definition

广义坐标是一组最小的独立参数，它们唯一地指定了与系统约束相符的机械系统构型，将其描述简化为其真实的自由度数量。

Scope

本主题涵盖广义坐标的选择、构型空间和自由度的概念，以及将约束分类为完整约束或非完整约束、定常约束或变时约束。它讨论了如何通过适当的坐标选择来消除完整约束，以及虚功原理和达朗贝尔原理如何处理约束力。

Core questions

• 选择广义坐标如何减少问题中的变量数量？
• 完整约束与非完整约束有何区别？
• 达朗贝尔原理和虚功如何消除未知的约束力？

Key concepts

• 广义坐标
• 自由度
• 构型空间
• 完整约束与非完整约束
• 虚位移与虚功
• 约束力

Key theories

完整约束与自由度

完整约束可以表示为坐标和时间之间的方程；每个完整约束都会使自由度减少一个，并且可以通过选择合适的广义坐标来吸收。

达朗贝尔原理与虚功

通过只允许与约束一致的虚位移，不做虚功的约束力被消除，从而只留下作用力表示的运动方程。

Clinical relevance

选择符合约束的广义坐标使得连杆机构、机械臂、齿轮系和铰接机构的动力学变得易于处理，而完整/非完整约束的区别对于滚动和轮式系统的控制至关重要。

History

达朗贝尔在1743年提出的原理通过结合惯性力和作用力，将动力学问题简化为静力学问题，拉格朗日在此基础上发展了广义坐标法，消除了约束力。赫兹等人在19世纪后期完善了约束的系统分类，包括非完整约束一词。

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Joseph-Louis Lagrange
• Heinrich Hertz

Seminal works

• goldstein2002
• lanczos1970

Frequently asked questions

什么使约束成为非完整约束？

非完整约束不能单独写成坐标之间的代数关系；它通常以不可积分的方式涉及速度，例如车轮无滑动滚动，并且不能通过坐标变换来消除。

为什么消除约束力很方便？

约束力通常是未知且不重要的，例如轨道产生的法向力。由于它们在与约束一致的虚位移下不做功，拉格朗日方法会自动将它们从运动方程中移除。