哈密顿方程与相空间

哈密顿方程是一对一阶方程，通过哈密顿量的导数给出坐标和共轭动量随时间的演化，将运动描述为相空间中的流动。

Definition

哈密顿方程是两个一阶微分方程，一个给出每个坐标的变化率，另一个给出每个共轭动量的变化率，它们是哈密顿量的偏导数，决定了系统在相空间中的轨迹。

Scope

本主题涵盖了从拉格朗日量定义哈密顿量的勒让德变换、每个坐标-动量对产生的正则方程、相空间的结构及其中的轨迹，以及关于哈密顿流下相空间体积守恒的刘维尔定理。

Core questions

• 哈密顿量是如何通过勒让德变换从拉格朗日量构建的？
• 相空间中的轨迹代表什么？它是如何演化的？
• 为什么相空间体积在哈密顿流下是守恒的？

Key concepts

• 勒让德变换
• 共轭动量
• 相空间和相轨迹
• 正则方程
• 刘维尔定理
• 能量曲面

Key theories

哈密顿正则方程

运动由一阶方程控制，其中每个坐标的变化率等于哈密顿量对动量的导数，每个动量的变化率等于哈密顿量对坐标导数的负值。

刘维尔定理

哈密顿量产生的流在相空间中保持体积不变，因此初始条件的一个区域在演化过程中不会改变其相空间测度，这是统计力学的一个基石。

Clinical relevance

相空间图景和刘维尔定理是统计力学和系综方法、加速器束流动力学（其中相空间面积是守恒的发射度）以及用于长期轨道和分子模拟的数值辛积分器的基础。

History

哈密顿在他1834-1835年关于动力学一般方法的论文中引入了正则方程，将二阶拉格朗日描述转换为对称的一阶描述。刘维尔1838年关于体积守恒的定理和吉布斯后来将相空间用于统计系综，确立了相空间观点在物理学中的核心地位。

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

什么是相空间？

相空间是一个坐标由所有广义位置及其共轭动量构成的空间；一个点完全指定了系统的瞬时状态，系统的历史是穿过这个空间的一条曲线。

为什么哈密顿方程是一阶的，而拉格朗日方程是二阶的？

通过将动量视为与坐标并列的独立变量，哈密顿形式将变量数量增加了一倍，但将每个方程降为一阶，从而揭示了相空间的对称结构。