欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程是运动的微分方程，它源于作用量驻点条件，每个广义坐标对应一个方程。
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Definition
欧拉-拉格朗日方程是一组二阶微分方程，通过将作用量的变分设为零而获得，它们描述了机械系统中每个广义坐标随时间的演化。
Scope
本主题涵盖了从哈密顿原理推导欧拉-拉格朗日方程、其在广义坐标系中的形式、广义（正则）动量的定义、循环坐标产生守恒动量的处理，以及通过拉格朗日乘数将其扩展到有约束的系统。它们是拉格朗日力学的核心计算输出。
Core questions
- 欧拉-拉格朗日方程如何从作用量驻点条件推导出来？
- 什么是广义动量，它何时守恒？
- 如何通过拉格朗日乘数引入约束？
Key concepts
- 广义坐标和广义速度
- 广义（正则）动量
- 循环（可忽略）坐标
- 约束的拉格朗日乘数
- 与牛顿第二定律的等价性
Key theories
- 欧拉-拉格朗日运动方程
- 要求作用量驻点，对于每个广义坐标，会得到一个方程，该方程将广义动量的时间导数等同于从拉格朗日量导出的广义力。
- 循环坐标和守恒动量
- 当拉格朗日量不依赖于某个特定坐标时，相应的广义动量是守恒的，这为寻找运动常数提供了一条直接途径。
Clinical relevance
由于欧拉-拉格朗日方程可以直接从任何方便的坐标系中的能量推导出运动方程，因此它们是机器人学、航空航天多体动力学和控制工程中的标准推导工具，在这些领域中，笛卡尔力平衡会显得笨拙。
History
欧拉在18世纪40年代推导出了变分法的核心方程，拉格朗日将其推广并系统地应用于力学，在其1788年的《分析力学》中，赋予了这些方程共同的名称。19世纪通过哈密顿原理对其进行重新解释，阐明了它们的变分起源。
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- arnold1989
Frequently asked questions
- 欧拉-拉格朗日方程与牛顿定律等价吗？
- 是的，对于两者都描述的系统而言。在笛卡尔坐标系中，当拉格朗日量为 T − V 时，它们精确地再现了牛顿第二定律，但它们适用于任何广义坐标，并且能更简洁地处理约束。
- 什么是广义动量？
- 它是拉格朗日量对广义速度的导数；对于普通的笛卡尔坐标，它简化为通常的线动量，但对于角坐标，它则是角动量。