哈密顿系统（变分）

哈密顿表述通过勒让德变换将变分问题重构为一阶正则系统，揭示了守恒量和丰富的辛结构。

Definition

给定一个具有拉格朗日量的变分问题，哈密顿量是其在速度变量上的勒让德变换；欧拉-拉格朗日方程随后变为哈密顿关于位置和动量的一对一阶正则方程。

Scope

本主题涵盖从拉格朗日量到哈密顿量的勒让德变换、哈密顿正则方程、守恒定律及其与诺特定理的联系、哈密顿-雅可比方程和正则变换，以及作为该理论基础的相空间的辛几何。

Core questions

• 勒让德变换如何将拉格朗日问题转换为哈密顿问题？
• 一阶正则方程提供了哪些优势？
• 对称性和守恒定律如何在这种表述中体现？
• 哈密顿-雅可比方程的作用是什么？

Key theories

哈密顿正则方程

勒让德变换将二阶欧拉-拉格朗日方程转化为位置和动量的一阶对称系统，其中哈密顿量产生演化。

哈密顿-雅可比方程

求解一个生成函数的一阶偏微分方程可以得到一个使动力学变得简单的正则变换，将变分力学与波动理论和最优控制理论联系起来。

辛结构和守恒

哈密顿流在相空间上保持辛形式，诺特定理将每个连续对称性与一个守恒量相关联，从而组织了运动积分。

Clinical relevance

哈密顿表述是经典力学通向量子力学和统计力学的桥梁，是天体力学和可积系统的自然背景，也是最优控制中哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的来源。

History

哈密顿在19世纪30年代通过其主函数和正则方程重新阐述了力学，雅可比发展了相关的偏微分方程和正则变换理论。庞加莱以及后来的阿诺德揭示了深刻的辛几何及其对可积性和稳定性的影响。

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Henri Poincare
• Vladimir Arnold

Seminal works

• gelfand1963
• arnold1989

Frequently asked questions

为什么要用哈密顿术语重新表述拉格朗日问题？

哈密顿形式用两个关于位置和动量的一阶方程取代了一个二阶方程，并对称地处理它们。这揭示了守恒量和相空间的辛结构，并为正则变换和量子力学提供了自然的语言。

哈密顿-雅可比方程的用途是什么？

它是一个一阶偏微分方程，其解产生一个变换，使动力学易于积分。它将力学与几何光学联系起来，并在最优控制中作为价值函数的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程重新出现。