最小作用量原理

最小作用量原理指出，系统在两种构型之间所遵循的物理路径，是作用量积分取驻值的路径。

Definition

最小作用量原理断言，一个力学系统沿着其作用量（拉格朗日量对时间的积分）在路径的微小变分下（端点固定）取驻值的轨迹演化。

Scope

本主题涵盖了作为拉格朗日量时间积分的作用量泛函、哈密顿驻定作用量原理、用于提取物理路径的变分法，以及较早的莫佩尔蒂（缩减作用量）原理与哈密顿原理之间的区别。它阐释了为何一个单一的变分陈述能够概括整个力学。

Core questions

• 什么是作用量，以及作用量取驻值意味着什么？
• 哈密顿原理与较早的莫佩尔蒂最小作用量原理有何不同？
• 为什么一个单一的变分原理能够再现牛顿力学的所有内容？

Key concepts

• 作用量泛函
• 变分法
• 驻定（极值）路径
• 端点（边界）条件
• 缩减作用量

Key theories

哈密顿原理

在构型空间中所有端点固定的路径中，物理运动是作用量积分的一阶变分为零，从而使作用量取驻值的路径。

莫佩尔蒂缩减作用量原理

一种较早的变分形式，它保持能量固定，并使构型空间中路径上的缩减作用量取驻值，在适当条件下等同于哈密顿原理。

Clinical relevance

作用量原理是经典物理学与现代物理学之间的概念桥梁：它推广到相对论场论，并为费曼的量子力学路径积分公式奠定了基础，在该公式中，每条路径都以作用量加权贡献。

History

莫佩尔蒂在18世纪40年代基于形而上学提出了最小作用量原理，欧拉和拉格朗日通过变分法为其奠定了坚实的数学基础。哈密顿在19世纪30年代将其重新表述为现代的驻定作用量原理，该原理成为拉格朗日力学和哈密顿力学统一的起点。

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

作用量真的被最小化了吗？

通常如此，但并非总是。定义条件是作用量取驻值，这意味着其一阶变分为零；对于足够长的路径，驻点可能是鞍点而非最小值。

该原理与量子力学有何关系？

在费曼的路径积分中，量子振幅汇总了所有路径的贡献，这些贡献以作用量的指数加权；经典最小作用量路径出现在附近贡献相长叠加的地方。