Martingaller ve Stokastik Entegrasyon
Sürekli zamanlı martingaller, kuadratik varyasyonları ve öngörülebilir ile martingale kısımlarına ayrışmalarıyla, stokastik integrallerin üzerine inşa edildiği entegratörler olarak işlev görmektedir.
Tanım
Sürekli zamanda bir martingale, koşullu beklenen artışları sıfır olan bir süreçtir; kuadratik varyasyonu birikmiş dalgalanmayı ölçer, Doob-Meyer ayrışımı submartingalleri öngörülebilir artan bir kısma ve bir martingale ayırır ve bu yapılar semimartingallere karşı stokastik entegrasyonu tanımlar.
Kapsam
Bu konu, sürekli zamanlı martingalleri ve yerel martingalleri, submartingallerin Doob-Meyer ayrışımını, kuadratik varyasyonu ve köşeli parantez sürecini (bracket process), entegratörlerin en geniş doğal sınıfı olarak semimartingalleri, bir martingale karşı stokastik integralin inşasını ve Brown martingallerini stokastik integraller olarak ifade eden martingale temsil teoremini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Sürekli zamanlı martingaller ve yerel martingaller, ayrık durumu nasıl genellemektedir?
- Kuadratik varyasyon nedir ve stokastik entegrasyon için neden merkezi bir öneme sahiptir?
- Doob-Meyer ayrışımı, bir sürecin martingale kısmını nasıl tanımlamaktadır?
- Semimartingaller neden entegratörlerin doğal sınıfıdır ve martingale temsili ne sağlamaktadır?
Temel kuramlar
- Doob-Meyer ayrışımı ve kuadratik varyasyon
- Bir submartingale, benzersiz bir şekilde bir yerel martingale artı öngörülebilir artan bir sürece ayrışır ve sürekli bir yerel martingale'in kuadratik varyasyonu, karesini bir martingale yapan öngörülebilir süreçtir; bu da stokastik integraller için varyans ölçüsünü sağlar.
- Stokastik integral ve martingale temsili
- Öngörülebilir bir sürecin kare-integrallenebilir bir martingale karşı stokastik integrali, hesaplanabilir kuadratik varyasyona sahip bir martingale'in kendisidir ve martingale temsil teoremi, her Brown martingale'inin böyle bir integral olduğunu göstermektedir; bu da finansta riskten korunmanın temelini oluşturur.
Klinik önem
Martingale tabanlı stokastik entegrasyon, Ito integrali ve stokastik diferansiyel denklemlerin, filtreleme kuramının ve matematiksel finansta arbitrajsız fiyatlandırma ve riskten korunmanın matematiksel temelini oluşturmaktadır; burada martingale temsil teoremi türev menkul kıymetler için çoğaltma stratejileri sağlamaktadır.
Tarihçe
Doob, Meyer'in 1962'de kanıtladığı ayrışımı öne sürmüştür; Meyer liderliğindeki Strazburg okulu, 1960'lar ve 1970'lerde semimartingaller ve stokastik entegrasyonun genel kuramını geliştirmiştir ve Kunita ile Watanabe'nin kare-integrallenebilir martingaller üzerine çalışmaları, genel martingale entegratörlerine karşı integrali birleştirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Joseph Doob
- Paul-Andre Meyer
- Kiyosi Ito
- Hiroshi Kunita
İlgili konular
Temel eserler
- karatzasShreve1991
Sıkça sorulan sorular
- Neden sıradan fonksiyonlara karşı değil de martingallere karşı entegrasyon yapılır?
- Martingale yolları, sıradan anlamda entegre edilemeyecek kadar düzensizdir; ancak kuadratik varyasyonla ölçülen kontrollü dalgalanmaları, kendisi de bir martingale olan ve stokastik hesabın temelini oluşturan olasılıksal bir integrale izin vermektedir.
- Kuadratik varyasyon nedir?
- Bir sürecin daha ince bölüntüler üzerindeki toplanmış kare artışlarının limitidir; martingale yolları için genellikle sıfır değildir ve stokastik entegrasyon için doğal varyans saati olarak işlev görmektedir.