Ayrık Zamanlı Martingaller
Ayrık zamanlı bir martingale, zamanla indekslenen ve artan bir bilgi akışına bağlı olan rastgele değişkenler dizisidir; geçmiş bilgiler ışığında bir sonraki değerin en iyi tahmini her zaman mevcut değeridir.
Tanım
Ayrık zamanlı bir martingale, bir filtrasyona uyarlanmış (adapted) ve her teriminin önceki bilgiye göre koşullu beklentisinin hemen önceki terime eşit olduğu, integrallenebilir bir rastgele değişkenler dizisidir.
Kapsam
Bu konu, filtrasyonları ve uyarlanmış (adapted), öngörülebilir (predictable) süreçleri, martingale, altmartingale (submartingale) ve üstmartingale (supermartingale) tanımlarını, koşullu beklenti özelliğini ve sonuçlarını, bir altmartingalin bir martingale ve artan öngörülebilir bir kısma Doob ayrışımını, bir bahis stratejisinin kazançlarını temsil eden martingale dönüşümlerini ve bağımsız merkezlenmiş değişkenlerin toplamları ile olabilirlik oranı süreçleri gibi standart örnekleri kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir filtrasyon hangi bilgi yapısını kodlar ve bir sürecin uyarlanmış (adapted) olması ne anlama gelir?
- Martingaller, altmartingaller (submartingale) ve üstmartingaller (supermartingale) nasıl farklılık gösterir?
- Doob ayrışımı bir süreci adil oyun kısmına ve bir eğilime nasıl ayırır?
- Hiçbir öngörülebilir bahis stratejisi bir martingale'i neden kazanan bir oyuna dönüştüremez?
Anahtar kavramlar
- filtrasyon
- uyarlanmış ve öngörülebilir süreçler
- altmartingale (submartingale) ve üstmartingale (supermartingale)
- Doob ayrışımı
- martingale dönüşümü
Temel kuramlar
- Doob ayrışımı
- Herhangi bir uyarlanmış (adapted) integrallenebilir süreç, benzersiz bir şekilde bir martingale artı sıfırdan başlayan öngörülebilir bir sürece ayrılır ve süreç, bu öngörülebilir kısmın artan olması durumunda tam olarak bir altmartingale (submartingale) olur; bu da sistematik eğilimi adil oyun dalgalanmalarından ayırır.
- Martingale dönüşümü ve adil oyunların adilliği
- Bir martingale'e uygulanan öngörülebilir bir bahis stratejisinden elde edilen birikmiş kazançlar başka bir martingale oluşturur; bu nedenle, yalnızca geçmiş bilgileri kullanan hiçbir strateji pozitif beklenen kazanç sağlayamaz, bu da adil bir oyunun yenilemeyeceğinin kesin ifadesidir.
Klinik önem
Ayrık zamanlı martingaller, sıralı bilgiyi ve adil bahsi formüle ederek, istatistikteki sıralı olabilirlik oranı testlerinin, ayrık finansal modellerdeki arbitrajsızlık koşulunun ve bağımlı veriler için yoğunlaşma eşitsizlikleri ile limit teoremlerini kanıtlamak için kullanılan martingale fark dizilerinin temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Ville, başarılı kumar sistemlerinin varlığını çürütmek için martingalleri tanıtmıştır. Doob ise kendi adını taşıyan ayrışım ile ayrık zamanlı kuramı inşa etmiş, böylece martingalleri standart bir araç haline getirmiş ve Williams'ın metnindeki ele alınışı bir açıklama modeli olmuştur.
Öne çıkan isimler
- Joseph L. Doob
- Jean Ville
- Jacques Neveu
İlgili konular
Temel eserler
- williams1991
Sıkça sorulan sorular
- Filtrasyon nedir?
- Filtrasyon, her zaman için bir tane olmak üzere, o zamana kadar mevcut olan bilgiyi temsil eden artan bir sigma-cebirleri ailesidir; bir süreç, her değeri kendi zamanındaki bilgiye göre bilindiğinde ona uyarlanmış (adapted) olur.
- Bir altmartingale'i (submartingale) bir üstmartingale'den (supermartingale) ayıran nedir?
- Bir altmartingale (submartingale), geçmişe göre beklenen bir sonraki değeri mevcut değerden en az olduğu için koşullu ortalamada artma eğilimindedir; bir üstmartingale (supermartingale) ise azalma eğilimindedir; bir martingale ise koşullu ortalamanın değişmediği tam sınır durumudur.