Martingal Yakınsama Teoremleri
Martingal yakınsama teoremleri, uygun bir anlamda sınırlı kalan bir martingalin sınırlayıcı bir rastgele değişkene yaklaştığını garanti ederek, hemen hemen kesin yakınsamaya çok yönlü bir yol sağlamaktadır.
Tanım
Martingal yakınsama teoremleri, L1'de sınırlı bir martingalin hemen hemen kesin olarak yakınsadığını ve düzgün integrallenebilir bir martingalin, martingali koşullu bir beklenti olarak kapatan bir rastgele değişkene hemen hemen kesin olarak ve L1'de yakınsadığını belirten sonuçlardır.
Kapsam
Bu konu, Doob'un yukarı geçiş eşitsizliği ve maksimal eşitsizlikleri, L1-sınırlı martingallerin hemen hemen kesin yakınsaması, düzgün integrallenebilir martingaller için ortalama yakınsama ve kapatıcı değişken kavramı, Lp-sınırlı martingal yakınsaması ve büyük sayılar güçlü yasasına uygulamalarıyla birlikte geri martingal yakınsama teoremini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Yukarı geçiş eşitsizliği, sınırlı bir martingali yakınsamaya nasıl zorlamaktadır?
- Martingaller için hemen hemen kesin yakınsama ile ortalama yakınsama arasındaki fark nedir?
- Düzgün integrallenebilirlik ne eklemektedir ve kapatıcı değişken nedir?
- Geri martingaller büyük sayılar güçlü yasasını nasıl sağlamaktadır?
Temel kuramlar
- Doob'un yukarı geçiş eşitsizliği ve L1-sınırlı yakınsama
- Bir martingalin herhangi bir aralığı geçme sayısının beklenen değerini sınırlamak, onun süresiz olarak salınamayacağını göstermektedir, bu nedenle L1-sınırlı bir martingal hemen hemen kesin olarak sonlu bir limite yakınsamaktadır.
- Düzgün integrallenebilirlik ve L1 yakınsaması
- Düzgün integrallenebilir bir martingal, hemen hemen kesin olarak yakınsadığı gibi L1'de de yakınsamaktadır ve limitinin koşullu beklentilerine eşittir, bu nedenle birçok uygulama için gerekli olan tek bir integrallenebilir rastgele değişken tarafından kapatılmaktadır.
Klinik önem
Martingal yakınsaması, büyük sayılar güçlü yasasının ispatlarının, veriler biriktikçe Bayesci son inançların yakınsamasının, Levy'nin sıfır-bir yasasının ve dallanma süreçlerinin popülasyon büyüklüklerinin hemen hemen kesin limitlerinin temelini oluşturarak, hemen hemen kesin asimptotikler için tekrar eden bir motor görevi görmektedir.
Tarihçe
Doob, yakınsama teoremini ve yukarı geçiş argümanını 1940'larda ortaya koymuş ve bunları 1953 tarihli tezinde sunmuştur; düzgün integrallenebilir ve geri versiyonlar, Levy'nin aşağı ve yukarı teoremleriyle birlikte, lisansüstü olasılık müfredatının standart parçaları haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Joseph Doob
- Paul Levy
- David Williams
İlgili konular
Temel eserler
- williams1991
Sıkça sorulan sorular
- Bir martingal ne zaman yakınsamaktadır?
- Eğer L1'de sınırlı kalırsa, yani beklenen mutlak değeri zamanla sınırlıysa, hemen hemen kesin olarak yakınsamaktadır; düzgün integrallenebilirlik ek olarak bir kapatıcı değişkene ortalama yakınsama sağlamaktadır.
- Yukarı geçiş nedir?
- Bir aralığın yukarı geçişi, martingalin alt uç noktanın altından üst uç noktanın üzerine hareket ettiği bir durumdur; bu geçişlerin beklenen sayısını sınırlamak yakınsamayı ispatlamaktadır.