Çok Değişkenli Normal Dağılım
Çok değişkenli normal dağılım, çan eğrisini rastgele vektörlere genelleştiren, bir ortalama vektörü ve bir kovaryans matrisi ile tamamen karakterize edilen bir dağılımdır.
Tanım
Çok değişkenli normal dağılım, bileşenlerinin her doğrusal kombinasyonunun tek değişkenli normal olduğu, ortalama vektörü ve kovaryans matrisi tarafından tamamen belirlenen bir rastgele vektörün ortak dağılımıdır.
Kapsam
Bu konu, çok değişkenli normal dağılımın yoğunluk ve karakteristik fonksiyonunu, doğrusal dönüşüm, marjinalleştirme ve koşullandırma altındaki kapanımını, normal değişkenler için sıfır kovaryans ile bağımsızlık arasındaki ilişkiyi, eliptik konturlarının geometrisini ve Mahalanobis mesafesini ve klasik çok değişkenli çıkarımda varsayılan model olarak rolünü kapsamaktadır.
Temel sorular
- Çok değişkenli normal dağılımı ne karakterize eder?
- Normal bir vektörün marjinal ve koşullu dağılımları nasıl davranır?
- Neden modelleme varsayımı olarak bu kadar sık karşımıza çıkar?
- Eliptik geometrisi Mahalanobis mesafesiyle nasıl ilişkilidir?
Temel kuramlar
- Kapanım özellikleri
- Çok değişkenli normal bir vektörün doğrusal dönüşümleri, marjinalleri ve koşulluları kendileri de normaldir ve koşullu ortalamalar sabit koşullu kovaryans ile doğrusaldır; bu özellikler dağılımı olağanüstü derecede işlenebilir kılmaktadır.
- Eliptik geometri ve Mahalanobis mesafesi
- Sabit yoğunluk konturları, karesel yarıçapı ortalamadan Mahalanobis mesafesi olan elipsoidlerdir; bu mesafe ki-kare dağılımını takip eder ve birçok çok değişkenli test istatistiğinin temelini oluşturur.
Klinik önem
Çok değişkenli normal model, çok değişkenli test ve tahminde kullanılan örnekleme dağılımlarını gerekçelendirmekte ve Gauss diskriminant analizi ile Gauss karışım kümelemesinde bileşen dağılımı olarak hizmet etmektedir.
Tarihçe
Çok değişkenli normal dağılım, yirminci yüzyılın başlarında korelasyon ve regresyon teorisiyle birlikte geliştirilmiş ve yüzyıl ortası metinlerinde resmileştirilen klasik çok değişkenli analiz teorisinin temelini oluşturmuştur.
Tartışmalar
- Normallik varsayımının geçerliliği
- Birçok klasik prosedür çok değişkenli normalliği varsaymaktadır, ancak gerçek çok değişkenli veriler genellikle kalın kuyruklar veya çarpıklık göstermektedir; bu durum, sağlam ve eliptik dağılım alternatiflerini ve çok değişkenli normallik testlerini teşvik etmektedir.
Öne çıkan isimler
- T. W. Anderson
- Robb Muirhead
İlgili konular
Temel eserler
- anderson2003
- mardia1979
- muirhead1982
Sıkça sorulan sorular
- Sıfır korelasyon, normal değişkenler için bağımsızlık anlamına gelir mi?
- Tek bir çok değişkenli normal vektörün bileşenleri için, korelasyonsuz bileşenler gerçekten bağımsızdır; bu eşdeğerlik normale özgüdür ve genel olarak dağılımlar için geçerli değildir.
- Mahalanobis mesafesi nedir?
- Bir noktadan ortalamaya olan ölçek ve korelasyon ayarlı bir mesafedir; çok değişkenli normal veriler için karesi bir ki-kare dağılımını takip eder ve aykırı değerleri tespit etmek ve sınıflandırmada kullanılır.