Ito Formülü
Ito formülü, stokastik hesabın zincir kuralıdır: bir Ito sürecine düzgün bir fonksiyon uygulandığında, diferansiyel sadece olağan birinci dereceden terimleri değil, aynı zamanda karesel varyasyon tarafından yönlendirilen ek bir ikinci dereceden terimi de içermektedir.
Tanım
Ito formülü, bir Ito sürecinin düzgün bir fonksiyonunun stokastik diferansiyelini, olağan zincir kuralı terimlerinin toplamı ve sürecin ikinci türevini ile karesel varyasyonunu içeren ek bir terim olarak ifade etmektedir.
Kapsam
Konu, Brown hareketinin ve genel Ito süreçlerinin fonksiyonları için Ito formülünün ifadesini, çapraz varyasyon terimlerini içeren çok boyutlu versiyonunu, sürekli semimartingaller için formülü ve kısmi integrasyon, Black-Scholes denkleminin türetilmesi, Feynman-Kac gösterimi ve Girsanov'un ölçü değişimi teoremi gibi başlıca sonuçlarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Stokastik zincir kuralı, sıradan hesaplamada bulunmayan ikinci dereceden bir terimi neden içermektedir?
- Ito formülü, birden fazla sürece ve genel semimartingallere nasıl genişletilmektedir?
- Difüzyonları yöneten kısmi diferansiyel denklemlere nasıl yol açmaktadır?
- Girsanov teoremi gibi ölçü değişimi sonuçları bu formülden nasıl türemektedir?
Anahtar kavramlar
- stokastik zincir kuralı
- karesel varyasyon düzeltmesi
- kısmi integrasyon
- Feynman-Kac formülü
- Girsanov teoremi
Temel kuramlar
- Ito formülü
- Bir Ito sürecinin iki kez türevlenebilir bir fonksiyonu için diferansiyel, birinci türev çarpı süreç diferansiyeline artı ikinci türevin yarısı çarpı karesel varyasyona eşittir; düzeltme terimi, karesi alınmış Brown artışlarının belirli bir oranda birikmesi nedeniyle ortaya çıkmaktadır.
- Feynman-Kac ve Girsanov sonuçları
- Ito formülünün uygulanması, parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin difüzyonlar üzerindeki beklentiler olarak Feynman-Kac gösterimini ve Brown hareketinin eşdeğer bir olasılık ölçüsü değişimi altında nasıl dönüştüğünü açıklayan Girsanov teoremini sağlamaktadır.
Klinik önem
Ito formülü, stokastik modellemenin hesaplama temelini oluşturmaktadır: finansta Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemini ve opsiyon fiyatlandırma formüllerini üretmekte, stokastik filtreleme ve kontrol denklemlerini türetmekte ve Feynman-Kac gösterimi aracılığıyla difüzyon süreçlerini fiziğin kısmi diferansiyel denklemlerine bağlamaktadır.
Tarihçe
Ito, formülünü 1940'larda yeni stokastik hesabın temel taşı olarak kanıtlamıştır; Kac'ın önceki yol-integral fikirleri, Feynman-Kac formülünü vermek üzere bu formülle birleşmiş ve Girsanov'un 1960 tarihli ölçü değişimi teoremi, aynı hesaplama yoluyla türetilerek filtreleme ve finans için temel hale gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Kiyosi Ito
- Mark Kac
- Igor Girsanov
İlgili konular
Temel eserler
- karatzas1991
Sıkça sorulan sorular
- Ito formülü, sıradan zincir kuralına kıyasla neden ek bir terime sahiptir?
- Brown hareketinin karesi alınmış artışları limitte sıfıra gitmeyip zamana orantılı olarak biriktiği için, ikinci dereceden bir Taylor terimi hayatta kalır ve karakteristik yarım ikinci türev terimini katkıda bulunur.
- Ito formülü finansta ne için kullanılmaktadır?
- Bir türev ürününün iskonto edilmiş fiyatına, temel bir Ito sürecinin fonksiyonu olarak uygulanması, Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemini üretmekte ve bu denklemden opsiyon fiyatları ve korunma stratejileri elde edilmektedir.