Merkezi Limit Teoremi
Merkezi limit teoremi, birçok bağımsız rastgele değişkenin, ortalamaları sıfıra çekilip yeniden ölçeklendirildikten sonra, bireysel değişkenlerin şeklinden bağımsız olarak yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahip olduğunu belirtmektedir; bu nedenle çan eğrisi bilimde yaygın olarak görülmektedir.
Tanım
Merkezi limit teoremi, sonlu ortalama ve varyansa sahip bağımsız özdeş dağılımlı rastgele değişkenler için, terim sayısı arttıkça standartlaştırılmış toplamın dağılımda standart normal yasaya yakınsadığını belirtmektedir.
Kapsam
Konu, sonlu varyansa sahip bağımsız özdeş dağılımlı değişkenler için klasik merkezi limit teoremini, bağımsız değişkenlerin üçgensel dizileri için Lindeberg ve Lyapunov koşullarını, karakteristik fonksiyon ispat yöntemini, yakınsama hızına ilişkin Berry-Esseen sınırını ve varyansın sonsuz olduğu durumlarda Gauss olmayan kararlı limitlere genişletmeyi kapsamaktadır.
Temel sorular
- Normal dağılım neden standartlaştırılmış toplamların evrensel limitidir?
- Toplananlar özdeş dağılımlı olmadığında Lindeberg gibi hangi koşullar gereklidir?
- Normalleştirilmiş bir toplamın dağılımı normal yasaya ne kadar hızlı yaklaşmaktadır?
- Varyans sonsuz olduğunda normal limitin yerini ne almaktadır?
Anahtar kavramlar
- dağılımda yakınsama
- Lindeberg koşulu
- Lyapunov koşulu
- Berry-Esseen oranı
- kararlı limitler
Temel kuramlar
- Klasik merkezi limit teoremi
- Sonlu varyansa sahip bağımsız özdeş dağılımlı değişkenler için, toplamın ortalamasından çıkarılıp terim sayısının karekökü çarpı standart sapmaya bölünmesiyle elde edilen değer, karakteristik fonksiyonlar aracılığıyla açıkça ispatlandığı üzere, dağılımda standart normale yakınsamaktadır.
- Lindeberg-Feller teoremi
- Bağımsız değişkenlerin üçgensel dizileri için, varyansın ihmal edilemez bir kısmına hiçbir tek terimin katkıda bulunmadığı Lindeberg koşulu, asimptotik normallik için yeterli ve esasen gerekli olup, teoreme en genel klasik formunu vermektedir.
- Berry-Esseen sınırı
- Sonlu bir üçüncü moment mevcut olduğunda, standartlaştırılmış bir toplamın dağılımına normal yaklaşımın maksimum hatası, bir sabit çarpı üçüncü mutlak momentin varyansın üç bölü iki kuvvetine ve örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesiyle elde edilen bir değerle sınırlıdır.
Klinik önem
Merkezi limit teoremi, istatistiksel çıkarımın temel taşıdır: güven aralıkları, z-testleri ve t-testlerinin arkasındaki normal yaklaşımı, tahmin edicilerin asimptotik dağılımını haklı çıkarmakta ve bilimdeki ölçüm hatalarının ve toplulaştırılmış niceliklerin neden bu kadar sık yaklaşık olarak Gauss dağılımına sahip olduğunu açıklamaktadır.
Tarihçe
De Moivre ve Laplace, on sekizinci yüzyılda binom dağılımına normal yaklaşımı bulmuşlardır. Lyapunov, momentler kullanarak ilk titiz genel ispatı vermiş, Lindeberg kesin koşulu sağlamış ve Feller bunun esasen gerekli olduğunu göstermiş, Berry ve Esseen ise yakınsama hızını nicelendirmişlerdir.
Öne çıkan isimler
- Abraham de Moivre
- Pierre-Simon Laplace
- Aleksandr Lyapunov
- Jarl Waldemar Lindeberg
İlgili konular
Temel eserler
- billingsley1995
Sıkça sorulan sorular
- Merkezi limit teoremi, toplananların normal dağılımlı olmasını gerektirmekte midir?
- Hayır; dikkat çekici nokta, bireysel değişkenlerin sonlu varyansla neredeyse her türlü dağılıma sahip olabilmesi ve terim sayısı arttıkça standartlaştırılmış toplamlarının hala normal yasaya eğilim göstermesidir.
- Normal yaklaşımın iyi olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır?
- Evrensel bir cevap bulunmamaktadır; Berry-Esseen sınırı, hatanın üçüncü momente bağlı olduğunu ve örneklem büyüklüğünün karekökünün tersiyle azaldığını göstermektedir, bu nedenle çarpık veya kalın kuyruklu toplananlar, iyi bir yaklaşım için daha büyük örneklemler gerektirmektedir.