Büyük Sayılar Yasaları
Büyük sayılar yasaları, rastgele bir niceliğin birçok bağımsız gözleminin ortalamasının beklenen değerine yakınsadığını belirtmekte ve uzun vadeli frekansların istikrarlı hale geldiği sezgisine matematiksel bir içerik kazandırmaktadır.
Tanım
Büyük sayılar yasaları, sonlu ortalamaya sahip bağımsız ve özdeş dağılımlı rastgele değişkenlerin örneklem ortalamasının, zayıf yasa için olasılıkta ve güçlü yasa için hemen hemen kesin olarak bu ortalamaya yakınsadığını ileri sürmektedir.
Kapsam
Bu konu, Chebyshev eşitsizliği ve kesme (truncation) yöntemiyle kanıtlanan zayıf büyük sayılar yasasını, yalnızca sonlu bir ortalama varsayımı altındaki Khinchin'in zayıf yasasını, maksimal eşitsizliği ve üç seri teoremi ile Kolmogorov'un güçlü büyük sayılar yasasını, olasılıkta yakınsama ile hemen hemen kesin yakınsama arasındaki ayrımı ve sonlu ortalaması olmayan değişkenler için yasaların başarısızlığını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Örneklem büyüdükçe bir örneklem ortalaması gerçek ortalamaya hangi kesin anlamda yaklaşmaktadır?
- Zayıf ve güçlü yasalar arasındaki fark nedir ve her biri hangi hipotezlere ihtiyaç duymaktadır?
- Hangi eşitsizlikler ve ayrıştırmalar güçlü yasanın kanıtlanabilir olmasını sağlamaktadır?
- Temel dağılımın sonlu bir ortalaması olmadığında ne olmaktadır?
Anahtar kavramlar
- olasılıkta yakınsama
- hemen hemen kesin yakınsama
- Chebyshev eşitsizliği
- kesme (truncation) yöntemi
- Kolmogorov üç seri teoremi
Temel kuramlar
- Zayıf büyük sayılar yasası
- Sonlu ortalamaya sahip bağımsız ve özdeş dağılımlı değişkenler için örneklem ortalaması olasılıkta ortalamaya yakınsamaktadır; bu sonuç, varyans sonlu olduğunda Chebyshev eşitsizliğinden ve Khinchin'in daha zayıf hipotezi altında kesme (truncation) argümanlarından elde edilebilmektedir.
- Kolmogorov güçlü büyük sayılar yasası
- Bağımsız ve özdeş dağılımlı değişkenler için, örneklem ortalamasının hemen hemen kesin olarak ortalamaya yakınsaması için sonlu bir ortalama gerekli ve yeterlidir; bu, yasanın kesin biçimi ve olasılığın frekans yorumunun temelini oluşturmaktadır.
Klinik önem
Güçlü yasa, bir beklentinin örneklem ortalamasıyla tahmin edilmesine olanak tanımakta ve Monte Carlo entegrasyonunun, istatistikte tahmin edicilerin tutarlılığının ve olasılığın uzun vadeli göreli frekans olarak frekansçı yorumunun temelini oluşturmaktadır; ağır kuyruklu veriler için başarısızlığı, belirli sigorta kayıpları gibi sonsuz ortalamaya sahip niceliklerin ortalamasının alınmasına karşı uyarı niteliğindedir.
Tarihçe
Bernoulli, 1713 yılında binom oranları için ilk büyük sayılar yasasını kanıtlamıştır. Chebyshev, varyansa dayalı basit bir kanıt sunmuş, Khinchin hipotezleri sonlu bir ortalamaya indirgemiş ve Kolmogorov, yasayı kanıtlayan maksimal eşitsizlik ve üç seri teoremi ile birlikte kesin hemen hemen kesin güçlü yasayı ortaya koymuştur.
Öne çıkan isimler
- Jacob Bernoulli
- Pafnuty Chebyshev
- Aleksandr Khinchin
- Andrey Kolmogorov
İlgili konular
Temel eserler
- billingsley1995
Sıkça sorulan sorular
- Zayıf ve güçlü büyük sayılar yasaları arasındaki fark nedir?
- Zayıf yasa, herhangi bir büyük sabit örneklem boyutu için ortalamanın ortalamaya yakın olma olasılığının yüksek olduğunu belirtirken, güçlü yasa, olasılık bir ile ortalamaların tüm dizisinin ortalamaya yakınsadığını ifade etmektedir; güçlü yasa daha kesin bir ifadedir.
- Büyük sayılar yasası başarısız olabilir mi?
- Evet; eğer temel dağılımın Cauchy dağılımı gibi sonlu bir ortalaması yoksa, örneklem ortalaması hiçbir şekilde bir sabite yakınsamamakta ve yasa olağan biçimiyle uygulanamamaktadır.