Asimptotik Kuram
Asimptotik kuram, örneklem büyüklüğü sınırsızca arttığında tahmin edicilerin ve testlerin nasıl davrandığını incelemekte, kesin dağılımların ele alınamaz olduğu durumlarda kullanışlı yaklaşımlar sağlamaktadır.
Tanım
Asimptotik kuram, örneklem büyüklüğü sonsuza yaklaştığında istatistiksel prosedürler için limit dağılımları ve yaklaşımları türeten ve bunları bu prosedürleri karşılaştırmak ve gerekçelendirmek için kullanan matematiksel istatistiğin bir dalıdır.
Kapsam
Bu alan, yakınsama modlarını ve sürekli dönüşüm ile Slutsky teoremlerini, tahmin edicilerin tutarlılığını, asimptotik normalliği ve delta yöntemini, maksimizasyon veya tahmin denklemleriyle tanımlanan tahmin ediciler için birleştirici bir çerçeve olarak M- ve Z-tahminini, ampirik süreç kuramını ve fonksiyon sınıfları üzerindeki tekdüze yasalar ile merkezi limit teoremlerini, bitişikliği (contiguity), yerel asimptotik normalliği ve asimptotik verimliliği tanımlayan konvolüsyon ve yerel-asimptotik-minimax teoremlerini kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Bir tahmin edicinin tutarlı ve asimptotik olarak normal olması ne anlama gelmektedir?
- Delta yöntemi, asimptotik normalliği düzgün dönüşümler aracılığıyla nasıl yaymaktadır?
- M-tahmini, maksimum olabilirlik, en küçük kareler ve sağlam tahmin edicileri nasıl birleştirmektedir?
- Asimptotik verimlilik nedir ve Le Cam'ın kuramı en iyi limit varyansını nasıl karakterize etmektedir?
Temel kuramlar
- Tutarlılık ve asimptotik normallik
- Düzenlilik koşulları altında, tahmin ediciler olasılıkla gerçek parametreye yakınsamakta ve örneklem büyüklüğünün karekökü ile yeniden ölçeklendirildiğinde normal bir dağılıma yakınsayarak standart hataları ve Wald güven aralıklarını gerekçelendirmektedir.
- M-tahmini ve ampirik süreçler
- Bir örneklem kriterini maksimize eden veya tahmin denklemlerini çözen tahmin ediciler, argümanların gerektirdiği büyük sayılar tekdüze yasalarını ve merkezi limit teoremlerini sağlayan ampirik süreç kuramı aracılığıyla tekdüze olarak analiz edilmektedir.
- Yerel asimptotik normallik ve verimlilik
- Le Cam'ın yerel asimptotik normalliği, gerçeğe yakın düzgün bir modeli normal bir deneye indirgemektedir; konvolüsyon ve yerel-asimptotik-minimax teoremleri ise elde edilebilecek en iyi asimptotik varyansı tanımlamaktadır.
Klinik önem
Asimptotik yaklaşımlar, neredeyse tüm istatistiksel yazılımlar tarafından rapor edilen standart hataları, Wald ve olabilirlik oranı güven aralıklarını ve büyük örneklem testlerini sağlamaktadır; bu nedenle bilimlerdeki rutin çıkarımın geçerliliği, bu limit teoremlerinin iyi bir yaklaşımla geçerli olmasına dayanmaktadır.
Tarihçe
Klasik merkezi limit teoremi üzerine inşa edilen Le Cam, 1950'lerden itibaren bitişiklik (contiguity), yerel asimptotik normallik ve asimptotik verimlilik kuramını geliştirmiştir. Hajek'in konvolüsyon teoremi ve yirminci yüzyılın sonlarındaki ampirik süreç programı, van der Vaart tarafından sentezlenerek modern çerçeveyi tamamlamıştır.
Öne çıkan isimler
- Lucien Le Cam
- Aad van der Vaart
- Jaroslav Hajek
- Peter J. Bickel
İlgili konular
Temel eserler
- vanderVaart1998
Sıkça sorulan sorular
- Neden kesin dağılımlar yerine asimptotiklere güvenilmektedir?
- Kesin sonlu örneklem dağılımları genellikle bilinmemekte veya ele alınamamaktadır; oysa limit normal ve ki-kare yaklaşımları basit, geniş ölçüde uygulanabilir ve orta büyüklükteki örneklemler için doğrudur.
- Asimptotiklerin uygulanabilmesi için örneklem ne kadar büyük olmalıdır?
- Evrensel bir yanıt bulunmamaktadır; modele, parametreye ve verinin çarpıklığına bağlıdır. Yaklaşımlar, birkaç düzine gözlem için mükemmel olabilirken, bir sınır yakınındaki yüzlerce gözlem için kötü olabilmektedir; bu nedenle yeniden örnekleme kontrolleri yaygındır.