Винеровский процесс

Винеровский процесс представляет собой строгую математическую модель броуновского движения: непрерывный процесс, начинающийся с нуля, приращения которого на непересекающихся интервалах независимы и нормально распределены с дисперсией, равной прошедшему времени.

Definition

Винеровский процесс — это стохастический процесс с непрерывными траекториями, начинающийся в начале координат, имеющий независимые приращения, причем приращение на любом интервале нормально распределено со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной длине интервала, что обеспечивает каноническую модель броуновского движения.

Scope

Эта тема охватывает определяющие свойства винеровского процесса, его существование и конструкцию Винера, непрерывность, но нигде не дифференцируемость его траекторий, его квадратичную вариацию, равную прошедшему времени, сильное марковское свойство и принцип отражения, инвариантности масштабирования и инверсии времени, а также закон повторного логарифма, описывающий его тонкие флуктуации.

Core questions

• Какие аксиомы определяют винеровский процесс и гарантируют его существование?
• Почему его траектории непрерывны, но нигде не дифференцируемы?
• Какова его квадратичная вариация и почему она равна прошедшему времени?
• Как принцип отражения и сильное марковское свойство описывают его поведение?

Key theories

Свойства траекторий и квадратичная вариация

Траектории винеровского процесса почти наверное непрерывны, но нигде не дифференцируемы и имеют бесконечную полную вариацию, однако их квадратичная вариация на любом интервале равна длине интервала, что делает возможным стохастическое интегрирование.

Сильное марковское свойство и принцип отражения

Процесс возобновляется с нуля в моменты остановки, а отражение траектории после первого достижения ею некоторого уровня дает распределение текущего максимума и времен первого достижения, что является мощным инструментом для вычислений времен попадания.

Clinical relevance

Винеровский процесс моделирует тепловое движение микроскопических частиц, служит движущим шумом в стохастических дифференциальных уравнениях и модели Блэка-Шоулза для цен активов, появляется как предел масштабирования случайных блужданий согласно принципу инвариантности Донскера и лежит в основе моделей «сигнал плюс шум» в инженерии.

History

Башелье смоделировал цены акций с помощью этого процесса в 1900 году, а Эйнштейн представил его физическую теорию в 1905 году, но именно Винер в 1923 году доказал существование меры вероятности с требуемыми свойствами на пространстве непрерывных функций, после чего Леви и другие исследователи описали его замечательные свойства траекторий.

Key figures

• Norbert Wiener
• Albert Einstein
• Louis Bachelier
• Paul Levy

Seminal works

• morters2010

Frequently asked questions

Является ли винеровский процесс тем же самым, что и броуновское движение?

Да; винеровский процесс — это математически строгое определение броуновского движения, названное в честь Норберта Винера, который впервые построил его как меру на пространстве непрерывных траекторий.

Как траектория может быть непрерывной, но нигде не дифференцируемой?

Траектория никогда не совершает скачков, поэтому она непрерывна, однако она колеблется настолько сильно на каждом масштабе, что касательная не существует ни в одной точке, поэтому ее полная вариация бесконечна.