Исчисление Ито и стохастическое интегрирование

Исчисление Ито расширяет понятия интегрирования и дифференцирования на процессы, управляемые броуновским движением, заменяя обычное правило цепи формулой Ито, которая содержит дополнительный член, обусловленный квадратичной вариацией.

Definition

Интеграл Ито — это стохастический интеграл предсказуемого процесса по броуновскому движению, определенный таким образом, что он является мартингалом с дисперсией, заданной изометрией Ито, а формула Ито — это результирующее правило замены переменных, которое добавляет член второй производной, отражающий квадратичную вариацию интегрирующего процесса.

Scope

Эта тема охватывает построение интеграла Ито как предела римановых сумм с левыми концами отрезков по отношению к броуновскому движению, изометрию Ито, свойство мартингальности интеграла, формулу Ито для функций диффузионных процессов, многомерные правила и правила произведения, сравнение с интегралом Стратоновича и исчисление квадратичной вариации, которое отличает стохастическое интегрирование от обычного.

Core questions

• Как строится интеграл Ито и почему должны использоваться левые концы отрезков?
• Что такое изометрия Ито и как она контролирует дисперсию интеграла?
• Какой дополнительный член отличает формулу Ито от обычного правила цепи?
• Чем интеграл Ито отличается от интеграла Стратоновича?

Key theories

Интеграл Ито и изометрия Ито

Определение интеграла с оценками в левых концах отрезков делает его мартингалом, а изометрия Ито приравнивает ожидаемый квадрат интеграла к ожидаемому интегралу от квадрата подынтегральной функции, придавая интегралу его L2-структуру и устойчивость.

Формула Ито

Для гладкой функции диффузионного процесса формула Ито выражает дифференциал как обычный градиентный член плюс поправку, включающую вторую производную и квадратичную вариацию — правило, которое делает стохастическое исчисление вычислимым и приводит к уравнению Блэка-Шоулза.

Clinical relevance

Исчисление Ито является рабочим языком математических финансов, где формула Ито используется для вывода дифференциального уравнения Блэка-Шоулза и стратегий хеджирования, а также стохастического управления, фильтрации и физики, везде, где системы моделируются как управляемые гауссовским белым шумом.

History

Ито ввел стохастический интеграл и свою формулу замены переменных в работах 1944 и 1951 годов для построения диффузионных процессов. Стратонович и Фиск позднее предложили альтернативный интеграл, подчиняющийся обычному правилу цепи, и обе формулировки были согласованы по мере развития теории благодаря работам Маккина, Мейера и других.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

Почему формула Ито имеет дополнительный член?

Поскольку броуновское движение имеет ненулевую квадратичную вариацию, член второго порядка в разложении Тейлора не исчезает в пределе, добавляя поправку, равную половине второй производной, отсутствующую в обычном исчислении.

В чем разница между интегралами Ито и Стратоновича?

Интеграл Ито оценивает подынтегральную функцию в левой точке и является мартингалом, тогда как интеграл Стратоновича использует среднюю точку и подчиняется обычному правилу цепи; они отличаются поправочным членом и подходят для разных приложений.