Мартингалы и стохастическое интегрирование

Мартингалы непрерывного времени с их квадратичной вариацией и разложением на предсказуемую и мартингальную части являются интеграторами, на основе которых строятся стохастические интегралы.

Definition

В непрерывном времени мартингал — это процесс, условные ожидаемые приращения которого равны нулю; его квадратичная вариация измеряет накопленные флуктуации, разложение Дуба-Мейера разделяет субмартингалы на предсказуемую возрастающую часть и мартингал, и эти структуры определяют стохастическое интегрирование по семимартингалам.

Scope

Эта тема охватывает мартингалы и локальные мартингалы непрерывного времени, разложение субмартингалов Дуба-Мейера, квадратичную вариацию и процесс скобок, семимартингалы как самый широкий естественный класс интеграторов, построение стохастического интеграла по мартингалу и теорему о представлении мартингалов, выражающую броуновские мартингалы как стохастические интегралы.

Core questions

• Как мартингалы и локальные мартингалы непрерывного времени обобщают дискретный случай?
• Что такое квадратичная вариация и почему она занимает центральное место в стохастическом интегрировании?
• Как разложение Дуба-Мейера идентифицирует мартингальную часть процесса?
• Почему семимартингалы являются естественным классом интеграторов, и что дает представление мартингалов?

Key theories

Разложение Дуба-Мейера и квадратичная вариация

Субмартингал однозначно разлагается на локальный мартингал плюс предсказуемый возрастающий процесс, а квадратичная вариация непрерывного локального мартингала — это предсказуемый процесс, вычитание которого делает его квадрат мартингалом, обеспечивая меру дисперсии для стохастических интегралов.

Стохастический интеграл и представление мартингалов

Стохастический интеграл предсказуемого процесса по квадратично интегрируемому мартингалу сам является мартингалом с вычислимой квадратичной вариацией, а теорема о представлении мартингалов показывает, что каждый броуновский мартингал является таким интегралом, что является основой хеджирования в финансах.

Clinical relevance

Стохастическое интегрирование на основе мартингалов является математическим фундаментом интеграла Ито и стохастических дифференциальных уравнений, теории фильтрации, а также безрискового ценообразования и хеджирования в математических финансах, где теорема о представлении мартингалов дает реплицирующие стратегии для производных ценных бумаг.

History

Дуб выдвинул гипотезу о разложении, которое Мейер доказал в 1962 году; Страсбургская школа под руководством Мейера разработала общую теорию семимартингалов и стохастического интегрирования в 1960-х и 1970-х годах; работы Куниты и Ватанабэ по квадратично интегрируемым мартингалам объединили интеграл по общим мартингальным интеграторам.

Key figures

• Joseph Doob
• Paul-Andre Meyer
• Kiyosi Ito
• Hiroshi Kunita

Seminal works

• karatzasShreve1991

Frequently asked questions

Почему интегрируют по мартингалам, а не по обычным функциям?

Траектории мартингалов слишком нерегулярны для интегрирования в обычном смысле, но их контролируемая флуктуация, измеряемая квадратичной вариацией, позволяет получить вероятностный интеграл, который сам является мартингалом и лежит в основе стохастического исчисления.

Что такое квадратичная вариация?

Это предел суммы квадратов приращений процесса по более мелким разбиениям; для траекторий мартингалов она, как правило, ненулевая и действует как естественные «часы дисперсии» для стохастического интегрирования.