Броуновское движение

Броуновское движение, или винеровский процесс, представляет собой случайное блуждание в непрерывном времени, возникающее как предел масштабирования бесчисленных малых независимых шагов; его траектории непрерывны везде, но нигде не дифференцируемы.

Definition

Броуновское движение — это вещественнозначный стохастический процесс, начинающийся с нуля, с непрерывными выборочными траекториями, приращения которого на непересекающихся интервалах независимы и нормально распределены со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной длине интервала.

Scope

Тема охватывает определяющие свойства броуновского движения как процесса с непрерывными траекториями, независимыми стационарными приращениями и гауссовыми распределениями, его существование посредством конструкции Винера и принципа инвариантности Донскера, свойства траекторий: непрерывность, недифференцируемость нигде и квадратичную вариацию, сильное марковское свойство и принцип отражения, закон повторного логарифма, а также роль броуновского движения как непрерывного мартингала и гауссовского процесса.

Core questions

• Какие свойства однозначно характеризуют броуновское движение среди стохастических процессов?
• Как устанавливается существование процесса с непрерывными броуновскими траекториями?
• Каковы замечательные аналитические свойства броуновских траекторий?
• Как принцип отражения позволяет получить распределение максимума и моментов достижения?

Key concepts

• Винеровский процесс
• независимые гауссовы приращения
• траектории, недифференцируемые нигде
• квадратичная вариация
• принцип отражения

Key theories

Принцип инвариантности Донскера

Соответствующим образом перемасштабированные случайные блуждания сходятся по распределению к броуновскому движению в пространстве непрерывных траекторий, что является функциональной центральной предельной теоремой, объясняющей универсальность броуновского движения как предела суммированных малых независимых эффектов.

Свойства траекторий и принцип отражения

Броуновские траектории почти наверное непрерывны, нигде не дифференцируемы и имеют квадратичную вариацию, равную прошедшему времени, а принцип отражения использует сильное марковское свойство для получения распределений текущего максимума и моментов первого достижения в замкнутой форме.

Clinical relevance

Броуновское движение моделирует диффузию частиц в физике и химии, шумовую эволюцию цен активов в теории финансов Блэка-Шоулза, тепловые и электронные шумы в инженерии, а также случайное распространение загрязняющих веществ или генов; оно также является строительным блоком, из которого конструируются более общие диффузии и стохастические интегралы.

History

Роберт Браун наблюдал беспорядочное движение пыльцевых зерен в 1827 году, а Эйнштейн и Смолуховский объяснили его физически в 1905 и 1906 годах. Норберт Винер дал строгую математическую конструкцию в 1923 году, а Леви и другие разработали детальную теорию его траекторий.

Key figures

• Robert Brown
• Albert Einstein
• Norbert Wiener
• Paul Levy

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

Почему броуновские траектории непрерывны, но не дифференцируемы?

На любом малом интервале приращение имеет порядок квадратного корня из длины интервала, что сохраняет непрерывность траектории, но приводит к неограниченному росту разностных отношений, поэтому производная не существует ни в одной точке.

Как броуновское движение связано со случайным блужданием?

Броуновское движение является пределом масштабирования случайного блуждания: если простое случайное блуждание ускоряется во времени и сжимается в пространстве с соответствующими скоростями, его траектория сходится к броуновскому движению, что точно описывается принципом инвариантности Донскера.