Броуновское движение и стохастическое исчисление
Броуновское движение — это непрерывный случайный процесс, приращения которого независимы и гауссовы; построенное на его основе стохастическое исчисление предоставляет правила интегрирования и дифференцирования вдоль его нерегулярных траекторий.
Definition
Броуновское движение — это непрерывный во времени процесс с независимыми стационарными гауссовыми приращениями и непрерывными нигде не дифференцируемыми траекториями, а стохастическое исчисление — это теория интегрирования и дифференцирования по отношению к таким процессам, сосредоточенная на интеграле Ито и формуле замены переменных Ито.
Scope
Эта область охватывает винеровский процесс и свойства его траекторий, стохастический интеграл Ито и формулу Ито, стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы, связь с дифференциальными уравнениями в частных производных через формулу Фейнмана-Каца и уравнение Фоккера-Планка, преобразование меры Гирсанова, а также расширение до процессов Леви со скачками.
Sub-topics
Core questions
- Какие свойства характеризуют броуновское движение и делают его траектории столь нерегулярными?
- Как определяется интегрирование по броуновскому движению, несмотря на его бесконечную вариацию?
- Что такое формула Ито и как она заменяет обычное правило цепи?
- Как стохастические дифференциальные уравнения и процессы Леви расширяют эту концепцию?
Key theories
- Интеграл Ито и формула Ито
- Интеграл Ито определяет интегрирование по броуновскому движению, используя свойство мартингала и квадратичную вариацию, которая равна прошедшему времени, а формула Ито дает правило замены переменных с дополнительным членом второй производной, отражающим эту вариацию.
- Диффузии и связь с дифференциальными уравнениями в частных производных
- Решения стохастических дифференциальных уравнений представляют собой марковские диффузии, плотности перехода которых удовлетворяют уравнениям Фоккера-Планка и обратному уравнению Колмогорова, а формула Фейнмана-Каца представляет решения параболических уравнений как математические ожидания по траекториям диффузии.
Clinical relevance
Броуновское движение и стохастическое исчисление моделируют диффузию частиц и тепла, случайные флуктуации цен активов в теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза, шум в физических и инженерных системах, а также фильтрацию зашумленных сигналов, что делает их незаменимыми в физике, финансах и управлении.
History
Броун наблюдал нерегулярное движение пыльцевых зерен в 1827 году, Эйнштейн и Смолуховский представили его физическую теорию около 1905 года, Башелье уже использовал его для финансов в 1900 году, Винер строго построил его в 1923 году, а Ито создал стохастическое исчисление в 1940-х годах, превратив его в вычислительный инструмент.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- Почему обычное исчисление нельзя использовать для броуновского движения?
- Броуновские траектории имеют бесконечную полную вариацию и нигде не дифференцируемы, поэтому обычные интегралы и классическое правило цепи неприменимы; стохастическое исчисление Ито предлагает замены, учитывающие квадратичную вариацию.
- Что такое формула Ито?
- Это стохастический аналог правила цепи для функций броуновского движения или диффузий, включающий дополнительный член, содержащий вторую производную, который возникает из ненулевой квадратичной вариации траекторий.