Мартингалы с дискретным временем

Мартингал с дискретным временем — это последовательность случайных величин, индексированных по времени и связанных с возрастающим потоком информации, для которой наилучший прогноз следующего значения, исходя из прошлого, всегда равен ее текущему значению.

Definition

Мартингал с дискретным временем — это интегрируемая последовательность случайных величин, адаптированная к фильтрации, для которой условное математическое ожидание каждого члена, при условии предшествующей информации, равно непосредственно предшествующему члену.

Scope

Тема охватывает фильтрации и адаптированные, предсказуемые процессы, определения мартингала, субмартингала и супермартингала, свойство условного математического ожидания и его следствия, разложение Дуба субмартингала на мартингал и возрастающую предсказуемую часть, преобразования мартингалов, представляющие выигрыши от стратегии ставок, а также стандартные примеры, такие как суммы независимых центрированных переменных и процессы отношения правдоподобия.

Core questions

• Какую информационную структуру кодирует фильтрация и что означает адаптированность процесса?
• Чем отличаются мартингалы, субмартингалы и супермартингалы?
• Как разложение Дуба разделяет процесс на часть «честной игры» и тренд?
• Почему никакая предсказуемая стратегия ставок не может превратить мартингал в выигрышную игру?

Key concepts

• фильтрация
• адаптированные и предсказуемые процессы
• субмартингал и супермартингал
• разложение Дуба
• преобразование мартингала

Key theories

Разложение Дуба

Любой адаптированный интегрируемый процесс однозначно распадается на мартингал плюс предсказуемый процесс, начинающийся с нуля, и процесс является субмартингалом именно тогда, когда эта предсказуемая часть возрастает, изолируя систематический тренд от флуктуаций «честной игры».

Преобразование мартингала и справедливость «честных игр»

Накопленные выигрыши от предсказуемой стратегии ставок, примененной к мартингалу, образуют другой мартингал, поэтому никакая стратегия, использующая только прошлую информацию, не может принести положительный ожидаемый выигрыш, что является точным утверждением о том, что «честную игру» нельзя обыграть.

Clinical relevance

Мартингалы с дискретным временем формализуют последовательную информацию и честные ставки, лежащие в основе последовательных критериев отношения правдоподобия в статистике, условия отсутствия арбитража в дискретных финансовых моделях и построения последовательностей разностей мартингалов, используемых для доказательства неравенств концентрации и предельных теорем для зависимых данных.

History

Вилль ввел мартингалы, чтобы опровергнуть существование успешных игорных систем, а Дуб построил теорию дискретного времени с разложением, носящим его имя, сделав мартингалы стандартным инструментом, изложение которого в тексте Уильямса стало образцом.

Key figures

• Joseph L. Doob
• Jean Ville
• Jacques Neveu

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

Что такое фильтрация?

Фильтрация — это возрастающее семейство сигма-алгебр, по одной для каждого момента времени, представляющее информацию, доступную до этого момента; процесс адаптирован к ней, когда каждое значение известно с учетом информации в свой момент времени.

Что отличает субмартингал от супермартингала?

Субмартингал имеет тенденцию к увеличению условного среднего, поскольку его ожидаемое следующее значение, при условии прошлого, по крайней мере равно текущему значению, в то время как супермартингал имеет тенденцию к уменьшению; мартингал — это в точности пограничный случай, когда условное среднее не изменяется.