Теоремы о сходимости мартингалов

Теоремы о сходимости мартингалов гарантируют, что мартингал, который остается ограниченным в соответствующем смысле, сходится к предельной случайной величине, обеспечивая универсальный путь к сходимости почти наверное.

Definition

Теоремы о сходимости мартингалов — это результаты, утверждающие, что мартингал, ограниченный в L1, сходится почти наверное, и что равномерно интегрируемый мартингал сходится почти наверное и в L1 к случайной величине, которая замыкает мартингал как условное математическое ожидание.

Scope

Эта тема охватывает неравенство пересечений Дуба и максимальные неравенства, сходимость почти наверное L1-ограниченных мартингалов, сходимость в среднем для равномерно интегрируемых мартингалов и понятие замыкающей переменной, сходимость Lp-ограниченных мартингалов и теорему о сходимости обратных мартингалов с ее приложениями к усиленному закону больших чисел.

Core questions

• Как неравенство пересечений заставляет ограниченный мартингал сходиться?
• В чем разница между сходимостью почти наверное и сходимостью в среднем для мартингалов?
• Что добавляет равномерная интегрируемость и что такое замыкающая переменная?
• Как обратные мартингалы приводят к усиленному закону больших чисел?

Key theories

Неравенство пересечений Дуба и L1-ограниченная сходимость

Ограничение ожидаемого числа раз, когда мартингал пересекает любой интервал, показывает, что он не может колебаться бесконечно, поэтому L1-ограниченный мартингал сходится почти наверное к конечному пределу.

Равномерная интегрируемость и L1-сходимость

Равномерно интегрируемый мартингал сходится как в L1, так и почти наверное, и равен условным математическим ожиданиям своего предела, поэтому он замыкается одной интегрируемой случайной величиной, что является формой, необходимой для многих приложений.

Clinical relevance

Сходимость мартингалов лежит в основе доказательств усиленного закона больших чисел, сходимости байесовских апостериорных убеждений по мере накопления данных, закона нуля-единицы Леви и пределов численности популяций ветвящихся процессов почти наверное, что делает ее повторяющимся двигателем для асимптотик почти наверное.

History

Дуб установил теорему о сходимости и аргумент пересечений в 1940-х годах и представил их в своем трактате 1953 года, а равномерно интегрируемые и обратные версии, наряду с нисходящими и восходящими теоремами Леви, стали стандартными частями учебной программы по теории вероятностей для аспирантов.

Key figures

• Joseph Doob
• Paul Levy
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

Когда мартингал сходится?

Если он остается ограниченным в L1, то есть его ожидаемое абсолютное значение ограничено во времени, он сходится почти наверное; равномерная интегрируемость дополнительно дает сходимость в среднем к замыкающей переменной.

Что такое пересечение (upcrossing)?

Пересечение интервала — это случай, когда мартингал перемещается из области ниже нижней границы в область выше верхней границы; ограничение ожидаемого числа таких пересечений доказывает сходимость.