Математическое ожидание и интегрирование

Математическое ожидание — это интеграл Лебега случайной величины по вероятностной мере, единое понятие, которое объединяет суммы для дискретных переменных и интегралы для непрерывных, а также наследует мощные теоремы сходимости из теории меры.

Definition

Математическое ожидание случайной величины — это её интеграл по вероятностной мере, построенный сначала для неотрицательных величин как супремум по простым аппроксимациям, а затем распространённый на интегрируемые величины как разность положительной и отрицательной частей.

Scope

Тема охватывает построение математического ожидания для простых, неотрицательных и интегрируемых случайных величин, теоремы о монотонной и мажорируемой сходимости и лемму Фату, формулу замены переменных, связывающую математическое ожидание с интегралами по распределению, моменты и пространства Lp, а также неравенства Йенсена, Гёльдера, Маркова и Чебышёва.

Core questions

• Как определяется математическое ожидание для произвольной случайной величины, а не только для дискретных или непрерывных?
• При каких условиях предел можно внести под знак математического ожидания?
• Как моменты и пространства Lp количественно характеризуют размер случайной величины?
• Какие неравенства ограничивают вероятности и математические ожидания через моменты?

Key concepts

• математическое ожидание как интеграл Лебега
• монотонная и мажорируемая сходимость
• лемма Фату
• моменты и дисперсия
• пространства Lp случайных величин

Key theories

Теоремы о монотонной и мажорируемой сходимости

Для возрастающих неотрицательных случайных величин математическое ожидание предела равно пределу математических ожиданий, а для последовательностей, мажорируемых интегрируемой величиной, тот же обмен сохраняется, что даёт предельные теоремы, которых не хватает элементарной теории.

Неравенство Йенсена

Для выпуклой функции математическое ожидание функции от случайной величины не меньше функции от её математического ожидания, что приводит к сравнению моментов, свойству сжатия условного математического ожидания и многим оценкам в теории вероятностей.

Неравенства Маркова и Чебышёва

Вероятность того, что неотрицательная случайная величина превышает некоторый уровень, ограничена её средним значением, делённым на этот уровень, а применённое к квадратам отклонений это контролирует дисперсию через дисперсию, обеспечивая элементарный путь к слабому закону больших чисел.

Clinical relevance

Математическое ожидание и связанные с ним неравенства используются повсеместно, где величины усредняются в условиях неопределённости: они определяют средние значения, дисперсии и меры риска в статистике и финансах, обеспечивают границы концентрации, лежащие в основе теории обучения и рандомизированных алгоритмов, а также предоставляют теоремы сходимости, обосновывающие метод Монте-Карло.

History

После появления интеграла Лебега, вероятностники отождествили математическое ожидание с интегрированием по вероятностной мере. Это отождествление было явно сформулировано в рамках Колмогорова и развито с его теоремами сходимости и классическими неравенствами в стандартных учебниках для аспирантов.

Key figures

• Henri Lebesgue
• Johan Jensen
• Pafnuty Chebyshev
• Andrey Markov

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Является ли математическое ожидание тем же самым, что и среднее по исходам?

По сути да: это интеграл случайной величины, взвешенный по вероятности каждого исхода, который сводится к взвешенной сумме для дискретных переменных и к обычному интегралу по плотности для непрерывных.

Когда я могу поменять местами предел и математическое ожидание?

Теорема о монотонной сходимости позволяет это для возрастающих неотрицательных последовательностей, а теорема о мажорируемой сходимости позволяет это, когда последовательность ограничена фиксированной интегрируемой величиной; без таких условий обмен может быть невозможен.