Интеграл Лебега

Интеграл Лебега определяет интеграл измеримой функции, аппроксимируя её простыми функциями, взвешенными по мере, что позволяет получить интеграл, устойчиво взаимодействующий с пределами.

Definition

Интегрирование по Лебегу определяет интеграл неотрицательной измеримой функции как супремум интегралов простых функций, лежащих под ней, и распространяет это определение на знаковые и комплексные функции путём интегрирования положительной и отрицательной частей, что позволяет получить интеграл, определённый относительно любой меры.

Scope

Эта тема охватывает простые функции и интеграл неотрицательных измеримых функций, интеграл общих и комплекснозначных функций, теорему о монотонной сходимости, лемму Фату, теорему о мажорируемой сходимости, утверждения, выполняющиеся почти всюду, и сравнение с интегралом Римана.

Core questions

• Как интеграл строится из простых функций и меры?
• При каких условиях предел можно внести под знак интеграла?
• Что означает, что свойство выполняется почти всюду, и почему это правильное понятие?
• Как интеграл Лебега связан с интегралом Римана и расширяет его?

Key theories

Теорема о монотонной сходимости и лемма Фату

Для неотрицательных измеримых функций интеграл от монотонно возрастающего предела равен пределу интегралов, а в общем случае интеграл от нижнего предела не превосходит нижнего предела интегралов; это основные инструменты для перехода к пределу под знаком интеграла.

Теорема о мажорируемой сходимости

Если функции сходятся почти всюду и ограничены по модулю фиксированной интегрируемой функцией, то предел их интегралов равен интегралу от предела; это наиболее часто используемая теорема о перестановке операций в интегрировании.

Clinical relevance

Интеграл Лебега является математическим ожиданием в теории вероятностей и интегралом, лежащим в основе Фурье-анализа и функционального анализа; его теоремы сходимости обосновывают возможность перестановки пределов, сумм и интегралов в выводах в физике, статистике и прикладной математике, а также обеспечивают полноту функциональных пространств Lp.

History

Лебег определил свой интеграл в 1902 году, а теоремы сходимости были установлены вскоре после этого: лемма Фату появилась в его работе 1906 года о рядах, а теорема Леви о монотонной сходимости — также в 1906 году. Эти результаты придали анализу современный интеграл, удобный для работы с пределами.

Key figures

• Henri Lebesgue
• Pierre Fatou
• Beppo Levi

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

Что означает «почти всюду»?

Утверждение выполняется почти всюду, если множество, на котором оно не выполняется, имеет меру нуль; интеграл Лебега не может обнаружить изменения на таких множествах, поэтому функции, равные почти всюду, имеют одинаковый интеграл.

Почему теоремы сходимости являются главным преимуществом?

Теоремы о монотонной и мажорируемой сходимости позволяют переносить пределы под знак интеграла при мягких гипотезах, что является именно той гибкостью, которой не хватает интегралу Римана и от которой зависят теория вероятностей и анализ.