Преобразования и моменты

Функции случайных величин имеют собственные распределения, которые находятся с помощью формул замены переменных, а моменты и их производящие функции суммируют распределение через его среднее значение, дисперсию и форму более высоких порядков.

Definition

Преобразование случайной величины — это измеримая функция от неё, распределение которой получается путём переноса исходного закона, а моменты — это математические ожидания степеней случайной величины, которые суммируют положение, разброс и форму её распределения.

Scope

Тема охватывает распределение функций одной или нескольких случайных величин с помощью формул замены переменных и якобиана, моменты и центральные моменты, дисперсию и ковариацию, производящие функции моментов и кумулянтов, соотношения между моментами, кумулянтами, асимметрией и эксцессом, а также проблему моментов, когда моменты определяют распределение.

Core questions

• Как распределение функции случайных величин вычисляется из исходного распределения?
• Что измеряют последовательные моменты распределения?
• Как производящие функции кодируют все моменты одновременно?
• Когда моменты распределения однозначно определяют его?

Key concepts

• замена переменных и якобиан
• моменты и центральные моменты
• дисперсия и ковариация
• кумулянты
• проблема моментов

Key theories

Формула замены переменных

Для гладкого обратимого преобразования плотность преобразованной переменной является исходной плотностью, вычисленной в обратной точке, масштабированной абсолютным значением определителя якобиана, что является стандартным инструментом для вывода закона функции случайных величин.

Производящие функции моментов и кумулянтов

Когда она существует, производящая функция моментов кодирует все моменты через свои производные в начале координат, а её логарифм, производящая функция кумулянтов, имеет кумулянты, которые суммируются по независимым переменным, что упрощает изучение сумм.

Проблема моментов

Моменты однозначно определяют распределение при условиях роста, таких как условие Карлемана, но распределения с тяжёлыми хвостами, такие как логнормальное, могут иметь все моменты общими с другими, поэтому моменты не всегда характеризуют закон.

Clinical relevance

Преобразования и моменты являются повседневными инструментами прикладной теории вероятностей: вывод распределения преобразованной величины поддерживает моделирование и распространение ошибок, моменты дают средние значения, дисперсии и корреляции, используемые в статистике и теории портфеля, а асимметрия и эксцесс указывают на отклонения от нормальности в анализе рисков и контроле качества.

History

Моменты и проблема моментов занимали центральное место в работе Чебышева, Маркова и Стилтьеса в девятнадцатом веке, которые использовали методы моментов для доказательства ранних предельных теорем; метод замены переменных для плотностей является вероятностным аналогом правила подстановки из математического анализа.

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Thomas Stieltjes
• William Feller
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971

Frequently asked questions

Всегда ли моменты распределения определяют его?

Не всегда; при условиях роста моментов они определяют распределение, но некоторые распределения, такие как логнормальное, имеют все моменты общими с различными распределениями, поэтому последовательность моментов может не зафиксировать закон.

Зачем вводить кумулянты наряду с моментами?

Кумулянты суммируются по независимым случайным величинам, поэтому они ведут себя проще для сумм, чем моменты; второй кумулянт — это дисперсия, а кумулянты более высоких порядков измеряют отклонения от нормальности, все из которых исчезают выше второго порядка для нормального распределения.