Теоремы о сходимости мартингалов

Теоремы Дуба о сходимости показывают, что мартингал, флуктуации которого не слишком велики, почти наверное сходится к некоторому пределу, что является мощным и очень общим способом доказательства сходимости случайных последовательностей.

Definition

Теоремы о сходимости мартингалов — это результаты, утверждающие, что мартингал, ограниченный в первом среднем, сходится почти наверное, и что при условии равномерной интегрируемости он сходится в первом среднем и равен условным математическим ожиданиям своего предела.

Scope

Тема охватывает неравенство пересечений Дуба и теорему о почти наверное сходимости мартингалов для процессов, ограниченных в первом среднем, роль равномерной интегрируемости в переходе к сходимости в первом среднем и в замыкании мартингала его пределом, сходимость в p-м среднем для p больше единицы, а также теоремы Леви о сходимости вверх и вниз с законом нуля-единицы в качестве следствия.

Core questions

• Почему ограниченность в первом среднем заставляет мартингал сходиться почти наверное?
• Какое дополнительное условие обеспечивает сходимость в среднем и замыкающую предельную переменную?
• Как теорема Леви описывает предел условных математических ожиданий вдоль фильтрации?
• Как эти теоремы приводят к законам нуля-единицы и другим результатам сходимости?

Key concepts

• неравенство пересечений
• почти наверное сходимость
• равномерная интегрируемость
• замкнутый мартингал
• закон нуля-единицы Леви

Key theories

Теорема Дуба о сходимости мартингалов

Мартингал, первые абсолютные моменты которого ограничены, сходится почти наверное к конечному пределу, что доказывается с помощью неравенства пересечений, которое ограничивает, как часто процесс может пересекать любой интервал, обеспечивая сходимость при минимальных гипотезах.

Равномерная интегрируемость и сходимость в среднем

Равномерно интегрируемый мартингал сходится как почти наверное, так и в первом среднем и замыкается своим пределом, что означает, что каждый член является условным математическим ожиданием этого предела при данной соответствующей информации, что характеризует хорошо ведущие себя мартингалы.

Теоремы Леви о сходимости вверх и вниз

Условные математические ожидания фиксированной интегрируемой переменной при заданной возрастающей или убывающей семье сигма-алгебр сходятся почти наверное и в среднем к условному математическому ожиданию при заданной предельной сигма-алгебре, при этом закон нуля-единицы Колмогорова является частным случаем.

Clinical relevance

Сходимость мартингалов лежит в основе состоятельности байесовских апостериорных распределений по мере накопления данных, почти наверное сходимости стохастической аппроксимации и алгоритмов онлайн-обучения, усиленного закона больших чисел через обратные мартингалы, а также сходимости отношений правдоподобия, которая управляет последовательным тестированием и выбором модели.

History

Дуб доказал теорему о почти наверное сходимости и ввел аргумент пересечений в 1940-х годах, а Леви ранее установил сходимость условных математических ожиданий вдоль фильтрации; вместе они стали основой сходимости теории мартингалов, представленной в современных текстах.

Key figures

• Joseph L. Doob
• Paul Levy
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

Подразумевает ли почти наверное сходимость мартингала сходимость его средних?

Не сама по себе; почти наверное сходимость следует из ограниченности в первом среднем, но сходимость математических ожиданий и свойство замыкания требуют более сильного условия равномерной интегрируемости.

Что такое неравенство пересечений?

Оно ограничивает ожидаемое количество раз, когда мартингал пересекает вверх фиксированный интервал, в терминах его текущего размера; поскольку несходящаяся ограниченная последовательность должна была бы бесконечно часто осциллировать через некоторый интервал, это ограничение принуждает к почти наверное сходимости.