Теоретико-мерная вероятность
Теоретико-мерная вероятность строит всю теорию случайности на пространстве с мерой общей массы, равной единице, переопределяя события как измеримые множества, случайные величины как измеримые функции, а математическое ожидание как интегрирование по вероятностной мере.
Definition
Теоретико-мерная вероятность — это аксиоматическое основание теории вероятностей, в которой вероятность является счётно-аддитивной мерой общей массы, равной единице, на сигма-алгебре событий, случайные величины являются измеримыми функциями, а математическое ожидание — это интеграл случайной величины по вероятностной мере.
Scope
Эта область охватывает вероятностные пространства и сигма-алгебры событий, вероятностные меры и их основные свойства, независимость и леммы Бореля-Кантелли, построение математического ожидания как интеграла Лебега с его теоремами сходимости и неравенствами, а также условное математическое ожидание, определяемое с помощью теоремы Радона-Никодима.
Sub-topics
Core questions
- Каким аксиомам должно удовлетворять присвоение вероятности для поддержки непротиворечивой теории случайности?
- Как строго определяются случайные величины и их математические ожидания на абстрактном пространстве элементарных исходов?
- Что означает независимость событий или случайных величин, и какие асимптотические следствия из этого вытекают?
- Как определяется условная вероятность при условии событий с нулевой вероятностью или целой сигма-алгебры?
Key theories
- Аксиомы Колмогорова
- Вероятность моделируется как счётно-аддитивная, неотрицательная функция множества общей массы, равной единице, на сигма-алгебре событий, что делает доступным весь аппарат теории меры и даёт вероятности её строгое современное основание.
- Леммы Бореля-Кантелли
- Если вероятности последовательности событий суммируемы, то почти наверное произойдёт лишь конечное число из них, и наоборот, для независимых событий с несуммируемыми вероятностями почти наверное произойдёт бесконечно много из них, что даёт чёткую дихотомию для хвостового поведения.
- Условное математическое ожидание через Радона-Никодима
- Условное математическое ожидание при заданной под-сигма-алгебре определяется как единственная интегрируемая, измеримая функция, интегралы которой совпадают на этой под-сигма-алгебре, причём существование гарантируется теоремой Радона-Никодима; оно лежит в основе мартингалов и байесовского обновления.
Clinical relevance
Эта область является основой всей строгой теории вероятностей: предельные теоремы, мартингалы, марковские процессы и стохастическое исчисление — все они развиваются на основе вероятностного пространства, а условное математическое ожидание, в частности, является формальной основой фильтрации, прогнозирования, байесовского вывода и ценообразования финансовых деривативов без арбитража.
History
Теория вероятностей была строго обоснована в монографии Колмогорова 1933 года, которая отождествила вероятность с мерой общей массы, равной единице, и объединила более ранние работы Бореля, Кантелли и Леви. Теоретико-мерный подход, усовершенствованный Дубом и другими, стал стандартным языком этой области и представлен в учебниках для аспирантов Биллингсли, Дюрретта и Уильямса.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- Emile Borel
- Francesco Paolo Cantelli
- Joseph L. Doob
Related topics
Seminal works
- kolmogorov1933
- billingsley1995
Frequently asked questions
- Зачем теории вероятностей вообще нужна теория меры?
- Теория меры позволяет теории вероятностей последовательно работать с бесконечными пространствами элементарных исходов, непрерывными случайными величинами и пределами событий; счётная аддитивность меры — это именно то свойство, которое необходимо для корректного определения предельных теорем и условного математического ожидания.
- Что такое сигма-алгебра событий?
- Это совокупность подмножеств пространства элементарных исходов, которым присваивается вероятность, замкнутая относительно дополнения и счётного объединения; эта замкнутость позволяет вычислять вероятности пределов событий.