一般化座標と拘束

一般化座標とは、系の構成を特定する任意の独立変数であり、拘束を吸収し、追跡する必要のある自由度の数を減らすように選択されます。

Definition

一般化座標とは、その拘束と整合する機械系の構成を一意に特定する独立したパラメータの最小集合であり、その記述を真の自由度数にまで削減します。

Scope

このトピックでは、一般化座標の選択、配位空間と自由度の概念、および拘束のホロノミックまたは非ホロノミック、スクレロノミックまたはレオノミックとしての分類について扱います。適切な座標選択によってホロノミック拘束がどのように排除されるか、また仮想仕事の原理とダランベールの原理が拘束力をどのように扱うかについても論じます。

Core questions

• 一般化座標を選択すると、問題の変数数をどのように減らすことができますか？
• ホロノミック拘束と非ホロノミック拘束を区別するものは何ですか？
• ダランベールの原理と仮想仕事は、未知の拘束力をどのように排除しますか？

Key concepts

• 一般化座標
• 自由度
• 配位空間
• ホロノミック拘束と非ホロノミック拘束
• 仮想変位と仮想仕事
• 拘束力

Key theories

ホロノミック拘束と自由度

ホロノミック拘束は、座標と時間の間の式として表現可能であり、それぞれ自由度を1つ減らし、適切な一般化座標を選択することで吸収することができます。

ダランベールの原理と仮想仕事

拘束と整合する仮想変位のみを許容することにより、仮想仕事をしない拘束力は消去され、作用力のみの運動方程式が残ります。

Clinical relevance

拘束を尊重する一般化座標を選択することは、リンク機構、ロボットアーム、歯車列、および関節機構のダイナミクスを扱いやすくし、ホロノミック/非ホロノミックの区別は、転がりおよび車輪システムの制御にとって決定的です。

History

ダランベールの1743年の原理は、慣性力と作用力を組み合わせることにより、ダイナミクスを静力学の問題に還元しました。ラグランジュはこれに基づいて、拘束力を排除する一般化座標の方法を開発しました。非ホロノミックという用語を含む拘束の体系的な分類は、19世紀後半にヘルツらによって洗練されました。

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Joseph-Louis Lagrange
• Heinrich Hertz

Seminal works

• goldstein2002
• lanczos1970

Frequently asked questions

拘束が非ホロノミックであるとはどういうことですか？

非ホロノミック拘束は、座標のみの代数関係として記述することはできません。これは通常、滑らずに転がる車輪のように、積分不可能な形で速度を含み、座標変換によって除去することはできません。

拘束力を排除することがなぜ都合が良いのですか？

拘束力は通常、軌道からの垂直抗力のように未知であり、興味の対象ではありません。拘束と整合する仮想変位の下では仕事をしないため、ラグランジュ法は運動方程式からそれらを自動的に除去します。