ハミルトンの運動方程式と位相空間

ハミルトンの運動方程式は、ハミルトニアンの導関数として座標と共役運動量の時間発展を与える一対の1階方程式であり、位相空間における流れとして運動を記述する。

Definition

ハミルトンの運動方程式は、系の位相空間を通る軌道を決定する2つの1階微分方程式であり、一方は各座標の変化率を、もう一方は各共役運動量の変化率をハミルトニアンの偏導関数として与える。

Scope

このトピックでは、ラグランジアンからハミルトニアンを定義するルジャンドル変換、各座標-運動量対に対する結果として得られる正準方程式、位相空間とその中の軌道の構造、およびハミルトニアンの流れの下での位相空間体積の保存に関するリウヴィルの定理について扱う。

Core questions

• ラグランジアンからハミルトニアンはルジャンドル変換によってどのように構築されるか？
• 位相空間における軌道は何を表し、どのように発展するか？
• ハミルトニアンの流れの下で位相空間の体積はなぜ保存されるのか？

Key concepts

• ルジャンドル変換
• 共役運動量
• 位相空間と位相軌道
• 正準方程式
• リウヴィルの定理
• エネルギー曲面

Key theories

ハミルトンの正準方程式

運動は1階方程式によって支配され、各座標の変化率はハミルトニアンの運動量に関する導関数に等しく、各運動量の変化率はハミルトニアンの座標に関する導関数の負の値に等しい。

リウヴィルの定理

ハミルトニアンによって生成される流れは位相空間内の体積を保存するため、初期条件の領域は位相空間の測度を変えることなく発展し、統計力学の基礎となっている。

Clinical relevance

位相空間の描像とリウヴィルの定理は、統計力学とアンサンブル法の基礎であり、位相空間の面積が保存されるエミッタンスである加速器ビームダイナミクス、および長期軌道シミュレーションや分子シミュレーションで使用される数値シンプレクティック積分器の基礎となっている。

History

ハミルトンは、1834年から1835年にかけての動力学における一般的方法に関する論文で正準方程式を導入し、2階のラグランジュ記述を対称的な1階の記述に変換した。リウヴィルの1838年の体積保存に関する定理と、ギブスによる統計アンサンブルのための位相空間のその後の使用により、位相空間の視点は物理学の中心的なものとして確立された。

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

位相空間とは何か？

位相空間とは、その座標がすべての一般化された位置とその共役運動量である空間である。1つの点は系の瞬間的な状態を完全に指定し、系の履歴はこの空間を通る曲線である。

ハミルトンの運動方程式が1階であるのに対し、ラグランジュの運動方程式が2階であるのはなぜか？

運動量を座標と並んで独立変数として扱うことにより、ハミルトン形式は変数の数を2倍にするが、各方程式を1階に下げ、位相空間の対称的な構造を明らかにする。