最小作用の原理

最小作用の原理とは、系が2つの配置の間でたどる物理的な経路は、作用積分が停留する経路であるというものである。

Definition

最小作用の原理とは、力学系が、終点を固定した経路のわずかな変分に対して、ラグランジアンの時間積分である作用が停留する軌道に沿って進化するという主張である。

Scope

このトピックでは、ラグランジアンの時間積分としての作用汎関数、ハミルトンの最小作用の原理、物理的経路を導出するために用いられる変分法、および古いモーペルテュイ（短縮作用）の原理とハミルトンの原理との区別について扱う。単一の変分原理がいかにして力学全体を記述できるかを説明する。

Core questions

• 作用とは何か、そしてそれが停留するとはどういう意味か？
• ハミルトンの原理は、より古いモーペルテュイの最小作用の原理とどう異なるのか？
• なぜ単一の変分原理がニュートン力学のすべてを再現できるのか？

Key concepts

• 作用汎関数
• 変分法
• 停留（極値）経路
• 終点（境界）条件
• 短縮作用

Key theories

ハミルトンの原理

配置空間において終点が固定されたすべての経路の中で、物理的な運動は、作用積分の一次変分がゼロとなり、作用が停留する経路である。

モーペルテュイの短縮作用の原理

初期の変分形式では、エネルギーを固定し、配置空間における経路上の短縮作用を停留させる。これは適切な条件下でハミルトンの原理と同等である。

Clinical relevance

作用原理は、古典物理学から現代物理学への概念的な架け橋である。それは相対論的場の理論に一般化され、ファインマンの量子力学の経路積分定式化の基礎を提供する。そこでは、すべての経路が作用によって重み付けされて寄与する。

History

モーペルテュイは1740年代に形而上学的な根拠に基づいて最小作用の原理を提唱し、オイラーとラグランジュは変分法を通じてそれを確固たる数学的基盤の上に置いた。ハミルトンは1830年代にそれを時間に対する停留作用の現代的な原理として再定式化し、それがラグランジュ力学とハミルトン力学の両方にとって統一的な出発点となった。

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

作用は実際に最小化されるのか？

多くの場合そうであるが、常にそうとは限らない。定義条件は作用が停留することであり、これはその一次変分がゼロになることを意味する。十分に長い経路の場合、停留点は最小値ではなく鞍点となることがある。

この原理は量子力学とどのように関連するのか？

ファインマンの経路積分では、量子振幅は作用の指数関数で重み付けされたすべての経路からの寄与を合計する。古典的な最小作用経路は、近傍の寄与が建設的に加算される場所で現れる。