वाल्ड, स्कोर और संभाव्यता-अनुपात परीक्षण कब असहमत होते हैं?

वे स्पर्शोन्मुखी रूप से समतुल्य हैं लेकिन सीमित नमूनों में भिन्न हो सकते हैं; जब संभाव्यता द्विघात से बहुत दूर होती है या अनुमान सीमा के करीब होते हैं तो संभाव्यता-अनुपात और स्कोर परीक्षण आमतौर पर वाल्ड परीक्षण की तुलना में अधिक विश्वसनीय होते हैं।

विल्क्स के प्रमेय में स्वतंत्रता की कोटि क्या हैं?

वे स्वतंत्र बाधाओं की संख्या के बराबर हैं जो शून्य परिकल्पना मापदंडों पर लगाती है, यानी, पूर्ण और प्रतिबंधित मॉडल के बीच आयाम में अंतर।

संभाव्यता-अनुपात परीक्षण

संभाव्यता-अनुपात परीक्षण यह तुलना करता है कि प्रतिबंधित शून्य मॉडल (null model) की तुलना में पूर्ण मॉडल (full model) के तहत डेटा कितनी अच्छी तरह फिट बैठता है, और इसका बड़े-नमूने का वितरण इसे एक सार्वभौमिक परीक्षण उपकरण बनाता है।

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Definition

सामान्यीकृत संभाव्यता-अनुपात परीक्षण शून्य परिकल्पना को तब अस्वीकार करता है जब शून्य के तहत अधिकतम संभाव्यता का पूर्ण पैरामीटर स्थान पर अधिकतम संभाव्यता से अनुपात छोटा होता है, या समकक्ष रूप से जब इसके लॉग का माइनस दो गुना बड़ा होता है।

Scope

यह विषय समग्र परिकल्पनाओं (composite hypotheses) के लिए सामान्यीकृत संभाव्यता-अनुपात सांख्यिकी, विल्क्स के प्रमेय (Wilks's theorem) को शामिल करता है कि माइनस दो गुना लॉग-संभाव्यता-अनुपात स्पर्शोन्मुखी रूप से (asymptotically) काई-वर्ग (chi-squared) होता है जिसकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) बाधाओं की संख्या के बराबर होती है, स्पर्शोन्मुखी रूप से समतुल्य वाल्ड (Wald) और स्कोर (राव) परीक्षण, तीनों के बीच संबंध और अंतर, और नियमितता की शर्तें (regularity conditions) तथा अपवाद जैसे कि सीमा पर पैरामीटर।

Core questions

समग्र परिकल्पनाओं के लिए सामान्यीकृत संभाव्यता-अनुपात सांख्यिकी का निर्माण कैसे किया जाता है?
विल्क्स के प्रमेय के अनुसार, माइनस दो गुना लॉग-संभाव्यता-अनुपात स्पर्शोन्मुखी रूप से काई-वर्ग क्यों होता है?
वाल्ड और स्कोर परीक्षण संभाव्यता-अनुपात परीक्षण से कैसे संबंधित हैं?
मानक काई-वर्ग सन्निकटन (approximation) कब विफल होता है?

Key theories

विल्क्स का प्रमेय: शून्य और नियमितता की शर्तों के तहत, संभाव्यता अनुपात के लॉग का माइनस दो गुना काई-वर्ग वितरण में परिवर्तित होता है जिसकी स्वतंत्रता की कोटि शून्य द्वारा लगाई गई प्रतिबंधों की संख्या के बराबर होती है।
वाल्ड, स्कोर और संभाव्यता-अनुपात त्रिमूर्ति: वाल्ड परीक्षण शून्य से अनुमान की दूरी का उपयोग करता है, स्कोर परीक्षण शून्य पर लॉग-संभाव्यता के ग्रेडिएंट का उपयोग करता है, और संभाव्यता-अनुपात परीक्षण अधिकतमों में अंतर का उपयोग करता है; तीनों एक ही स्पर्शोन्मुखी काई-वर्ग वितरण साझा करते हैं।

Clinical relevance

संभाव्यता-अनुपात, वाल्ड और स्कोर परीक्षण प्रतिगमन गुणांकों (regression coefficients), नेस्टेड-मॉडल तुलनाओं (nested-model comparisons), और उपयुक्तता की अच्छाई (goodness-of-fit) के लिए सॉफ्टवेयर द्वारा रिपोर्ट किए गए मानक सार्थकता परीक्षण हैं, जो उन्हें महामारी विज्ञान, अर्थमिति और प्रायोगिक विज्ञानों में रोजमर्रा के अनुमान उपकरण बनाते हैं।

History

विल्क्स ने 1938 में संभाव्यता-अनुपात सांख्यिकी के स्पर्शोन्मुखी काई-वर्ग वितरण की स्थापना की। वाल्ड ने 1943 में अपना परीक्षण प्रस्तुत किया और राव ने 1948 में स्कोर परीक्षण प्रस्तुत किया, और तीनों की स्पर्शोन्मुखी समतुल्यता को बीसवीं सदी के मध्य तक स्पष्ट किया गया।

Key figures

Samuel S. Wilks
Abraham Wald
Calyampudi Radhakrishna Rao
Aad van der Vaart

Seminal works

casella2002

Frequently asked questions

वाल्ड, स्कोर और संभाव्यता-अनुपात परीक्षण कब असहमत होते हैं?: वे स्पर्शोन्मुखी रूप से समतुल्य हैं लेकिन सीमित नमूनों में भिन्न हो सकते हैं; जब संभाव्यता द्विघात से बहुत दूर होती है या अनुमान सीमा के करीब होते हैं तो संभाव्यता-अनुपात और स्कोर परीक्षण आमतौर पर वाल्ड परीक्षण की तुलना में अधिक विश्वसनीय होते हैं।
विल्क्स के प्रमेय में स्वतंत्रता की कोटि क्या हैं?: वे स्वतंत्र बाधाओं की संख्या के बराबर हैं जो शून्य परिकल्पना मापदंडों पर लगाती है, यानी, पूर्ण और प्रतिबंधित मॉडल के बीच आयाम में अंतर।