सामान्यीकृत निर्देशांक और बाधाएँ

सामान्यीकृत निर्देशांक कोई भी स्वतंत्र चर होते हैं जो किसी प्रणाली के विन्यास को निर्दिष्ट करते हैं, जिन्हें बाधाओं को अवशोषित करने और ट्रैक किए जाने वाले स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम करने के लिए चुना जाता है।

Definition

सामान्यीकृत निर्देशांक स्वतंत्र मापदंडों का एक न्यूनतम सेट है जो अपनी बाधाओं के अनुरूप एक यांत्रिक प्रणाली के विन्यास को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करता है, जिससे इसके विवरण को स्वतंत्रता की इसकी वास्तविक डिग्री की संख्या तक कम किया जा सकता है।

Scope

यह विषय सामान्यीकृत निर्देशांक के चुनाव, विन्यास स्थान और स्वतंत्रता की डिग्री की धारणा, और बाधाओं के होलोनोमिक या गैर-होलोनोमिक, स्क्लेरोनोमिक या रियोनोमिक के रूप में वर्गीकरण को शामिल करता है। यह बताता है कि कैसे उपयुक्त निर्देशांक चुनाव द्वारा होलोनोमिक बाधाओं को समाप्त किया जाता है और कैसे आभासी कार्य के सिद्धांत और डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत बाधा बलों को संभालते हैं।

Core questions

• सामान्यीकृत निर्देशांक का चयन किसी समस्या में चरों की संख्या को कैसे कम करता है?
• होलोनोमिक और गैर-होलोनोमिक बाधाओं में क्या अंतर है?
• डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत और आभासी कार्य अज्ञात बाधा बलों को कैसे समाप्त करते हैं?

Key concepts

• सामान्यीकृत निर्देशांक
• स्वतंत्रता की डिग्री
• विन्यास स्थान
• होलोनोमिक बनाम गैर-होलोनोमिक बाधाएँ
• आभासी विस्थापन और आभासी कार्य
• बाधा बल

Key theories

होलोनोमिक बाधाएँ और स्वतंत्रता की डिग्री

होलोनोमिक बाधाओं को निर्देशांक और समय के बीच समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; प्रत्येक स्वतंत्रता की डिग्री को एक से कम करता है और उपयुक्त सामान्यीकृत निर्देशांक का चयन करके अवशोषित किया जा सकता है।

डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत और आभासी कार्य

बाधाओं के अनुरूप केवल आभासी विस्थापनों को स्वीकार करके, बाधा बल, जो कोई आभासी कार्य नहीं करते हैं, बाहर निकल जाते हैं, जिससे गति के समीकरण केवल अनुप्रयुक्त बलों के संदर्भ में रह जाते हैं।

Clinical relevance

बाधाओं का सम्मान करने वाले सामान्यीकृत निर्देशांक का चयन ही लिंकेज, रोबोटिक आर्म्स, गियर ट्रेन और आर्टिकुलेटेड तंत्र की गतिशीलता को सुगम बनाता है, और होलोनोमिक/गैर-होलोनोमिक भेद रोलिंग और पहिएदार प्रणालियों के नियंत्रण के लिए निर्णायक है।

History

डी'अलेम्बर्ट के 1743 के सिद्धांत ने जड़त्वीय और अनुप्रयुक्त बलों के संयोजन से गतिशीलता को स्थैतिकी की समस्या तक कम कर दिया, और लैग्रेंज ने बाधा बलों को समाप्त करने के लिए सामान्यीकृत निर्देशांक की विधि विकसित करने के लिए इस पर निर्माण किया। बाधाओं का व्यवस्थित वर्गीकरण, जिसमें गैर-होलोनोमिक शब्द भी शामिल है, उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में हर्ट्ज़ और अन्य लोगों द्वारा परिष्कृत किया गया था।

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Joseph-Louis Lagrange
• Heinrich Hertz

Seminal works

• goldstein2002
• lanczos1970

Frequently asked questions

किसी बाधा को गैर-होलोनोमिक क्या बनाता है?

एक गैर-होलोनोमिक बाधा को केवल निर्देशांकों के बीच एक बीजगणितीय संबंध के रूप में नहीं लिखा जा सकता है; इसमें आमतौर पर गैर-समाकलनीय तरीके से वेग शामिल होते हैं, जैसे कि बिना फिसले लुढ़कने वाले पहिये के साथ, और इसे निर्देशांक परिवर्तन द्वारा हटाया नहीं जा सकता है।

बाधा बलों को समाप्त करना सुविधाजनक क्यों है?

बाधा बल आमतौर पर अज्ञात और अरुचिकर होते हैं, जैसे कि ट्रैक से सामान्य बल। क्योंकि वे बाधाओं के अनुरूप आभासी विस्थापनों के तहत कोई काम नहीं करते हैं, लैग्रेंजियन विधि उन्हें गति के समीकरणों से स्वचालित रूप से हटा देती है।