विनिमेयता और डी फ़िनेटी का प्रमेय

विनिमेयता इस विचार को औपचारिक रूप देती है कि प्रेक्षणों का क्रम कोई जानकारी नहीं देता है, और डी फ़िनेटी का प्रमेय दर्शाता है कि यह धारणा एक पूर्व (prior) के साथ दिए गए डेटा को सशर्त रूप से i.i.d. (स्वतंत्र और समान रूप से वितरित) मानने को उचित ठहराती है।

Definition

यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम विनिमेय होता है यदि इसका संयुक्त वितरण सूचकांकों के किसी भी क्रमचय के तहत अपरिवर्तनीय रहता है; डी फ़िनेटी का प्रमेय कहता है कि एक अनंत विनिमेय अनुक्रम i.i.d. अनुक्रमों का एक मिश्रण है, जिसमें मिश्रण वितरण एक पूर्व (prior) की भूमिका निभाता है।

Scope

यह विषय परिमित और अनंत विनिमेयता, डी फ़िनेटी के प्रतिनिधित्व प्रमेय और विशुद्ध रूप से व्यक्तिपरक संभाव्यता पर आधारित पैरामीट्रिक मॉडल और पूर्व (priors) को स्थापित करने में इसकी भूमिका, और संरचित डेटा के लिए आंशिक विनिमेयता को शामिल करता है।

Core questions

• प्रेक्षणों के अनुक्रम के विनिमेय होने का क्या अर्थ है?
• डी फ़िनेटी का प्रमेय एक विनिमेय अनुक्रम को सशर्त रूप से i.i.d. के रूप में कैसे प्रस्तुत करता है?
• विनिमेयता पूर्व (priors) और पैरामीट्रिक मॉडलों के लिए व्यक्तिपरक-संभाव्यता औचित्य क्यों प्रदान करती है?
• संरचित या समूहीकृत डेटा के लिए आंशिक विनिमेयता के माध्यम से इस विचार को कैसे विस्तारित किया जाता है?

Key concepts

• विनिमेयता
• क्रमचय अपरिवर्तनीयता
• मिश्रण वितरण
• सशर्त स्वतंत्रता
• आंशिक विनिमेयता
• व्यक्तिपरक संभाव्यता

Key theories

डी फ़िनेटी का प्रतिनिधित्व प्रमेय

किसी भी अनंत विनिमेय बाइनरी अनुक्रम को बर्नौली अनुक्रमों के मिश्रण के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें मिश्रण माप को सफलता की संभाव्यता पर एक पूर्व (prior) के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; यह परिणाम व्यापक प्रेक्षण स्थानों तक सामान्यीकृत होता है।

आंशिक विनिमेयता

जब डेटा समूहों में आता है, तो समूहों के भीतर विनिमेयता मानी जाती है, जो पदानुक्रमित मॉडलों को प्रेरित करती है जिसमें समूह-स्तरीय पैरामीटर स्वयं विनिमेय होते हैं।

Clinical relevance

विनिमेयता वह मॉडलिंग धारणा है जो समान इकाइयों में जानकारी को एकत्रित करने की अनुमति देती है, जो अनुप्रयुक्त विज्ञानों में मेटा-विश्लेषण, बहु-केंद्र परीक्षणों और पदानुक्रमित मॉडलों का आधार है।

History

डी फ़िनेटी ने 1930 के दशक में विनिमेयता की शुरुआत की और अपने प्रतिनिधित्व प्रमेय को सिद्ध किया, जिसमें i.i.d. प्रतिचयन की आवृत्तिवादी धारणा के लिए एक व्यक्तिपरक-संभाव्यता विकल्प प्रदान किया गया। हेविट और सैवेज ने बाद में प्रमेय को सामान्य स्थानों तक विस्तारित किया।

Key figures

• Bruno de Finetti
• David Hewitt
• Leonard J. Savage

Seminal works

• definetti1937
• bernardo1994

Frequently asked questions

क्या विनिमेयता स्वतंत्रता के समान है?

नहीं। विनिमेय चर सामान्यतः निर्भर होते हैं, लेकिन डी फ़िनेटी का प्रमेय दर्शाता है कि एक अज्ञात पैरामीटर पेश किए जाने पर वे सशर्त रूप से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हो जाते हैं, जो ठीक एक बायेसियन मॉडल की संरचना है।