Distribution de Wishart
La distribution de Wishart est la généralisation multivariée de la distribution du chi-deux, décrivant le comportement d'échantillonnage des matrices de covariance à partir de données normales multivariées.
Definition
La distribution de Wishart est la distribution de probabilité de la matrice des sommes de carrés et de produits croisés formée à partir d'un échantillon de vecteurs normaux multivariés indépendants de moyenne nulle, paramétrée par une matrice d'échelle et des degrés de liberté.
Scope
Ce sujet aborde la définition de la distribution de Wishart comme la distribution d'une somme de produits externes de vecteurs normaux indépendants, ses degrés de liberté et sa matrice d'échelle, son rôle en tant que distribution d'échantillonnage de la matrice de covariance échantillon, la distribution inverse-Wishart comme a priori conjugué pour la covariance, et son utilisation dans la dérivation de statistiques de test multivariées.
Core questions
- Quelle est la distribution d'échantillonnage d'une matrice de covariance échantillon ?
- Comment la matrice d'échelle et les degrés de liberté paramètrent-ils la distribution de Wishart ?
- Comment la distribution de Wishart généralise-t-elle la distribution du chi-deux ?
- Dans quel contexte la distribution inverse-Wishart apparaît-elle ?
Key theories
- Distribution d'échantillonnage de la covariance
- Pour un échantillon issu d'une population normale multivariée, la matrice des sommes de carrés et de produits croisés suit une distribution de Wishart, généralisant le résultat selon lequel la variance échantillon mise à l'échelle à partir de données normales est distribuée selon un chi-deux.
- Conjugaison de l'inverse-Wishart
- La distribution inverse-Wishart est l'a priori conjugué pour la matrice de covariance d'une vraisemblance normale multivariée, ce qui la rend centrale dans l'analyse multivariée bayésienne.
Clinical relevance
La distribution de Wishart sous-tend les distributions nulles des statistiques de test multivariées classiques et fournit l'a priori conjugué utilisé dans l'estimation bayésienne des matrices de covariance.
History
John Wishart a dérivé la distribution de la matrice de covariance échantillon à partir de données normales multivariées en 1928, fournissant la théorie d'échantillonnage nécessaire à l'inférence multivariée et donnant son nom à la distribution.
Key figures
- John Wishart
- T. W. Anderson
Related topics
Seminal works
- anderson2003
- muirhead1982
- mardia1979
Frequently asked questions
- Comment la distribution de Wishart est-elle liée à la distribution du chi-deux ?
- En une dimension, la distribution de Wishart se réduit à une distribution du chi-deux mise à l'échelle ; la distribution de Wishart étend cela à la distribution conjointe des variances et covariances en plusieurs dimensions.
- À quoi sert la distribution inverse-Wishart ?
- Elle sert d'a priori conjugué pour une matrice de covariance dans les modèles multivariés bayésiens, permettant des mises à jour a posteriori traitables pour la covariance.