Distribution normale multivariée
La distribution normale multivariée généralise la courbe en cloche aux vecteurs aléatoires, étant entièrement caractérisée par un vecteur de moyennes et une matrice de covariance.
Definition
La distribution normale multivariée est la distribution conjointe d'un vecteur aléatoire dont chaque combinaison linéaire de composantes est normale univariée, entièrement déterminée par son vecteur de moyennes et sa matrice de covariance.
Scope
Ce sujet aborde la densité et la fonction caractéristique de la distribution normale multivariée, sa fermeture sous transformation linéaire, la marginalisation et le conditionnement, la relation entre covariance nulle et indépendance pour les variables normales, la géométrie de ses contours elliptiques et la distance de Mahalanobis, ainsi que son rôle en tant que modèle supposé dans l'inférence multivariée classique.
Core questions
- Qu'est-ce qui caractérise la distribution normale multivariée ?
- Comment se comportent les distributions marginales et conditionnelles d'un vecteur normal ?
- Pourquoi apparaît-elle si souvent comme hypothèse de modélisation ?
- Comment sa géométrie elliptique est-elle liée à la distance de Mahalanobis ?
Key theories
- Propriétés de fermeture
- Les transformations linéaires, les marginales et les conditionnelles d'un vecteur normal multivarié sont elles-mêmes normales, et les moyennes conditionnelles sont linéaires avec une covariance conditionnelle constante, des propriétés qui rendent la distribution exceptionnellement traitable.
- Géométrie elliptique et distance de Mahalanobis
- Les contours de densité constante sont des ellipsoïdes dont le rayon au carré est la distance de Mahalanobis par rapport à la moyenne, laquelle suit une distribution du chi-deux et sous-tend de nombreuses statistiques de test multivariées.
Clinical relevance
Le modèle normal multivarié justifie les distributions d'échantillonnage utilisées dans les tests et l'estimation multivariés, et sert de distribution de composante dans l'analyse discriminante gaussienne et le regroupement par mélange gaussien.
History
La distribution normale multivariée a été développée parallèlement à la théorie de la corrélation et de la régression au début du XXe siècle et est devenue le fondement de la théorie classique de l'analyse multivariée formalisée dans les textes du milieu du siècle.
Debates
- Validité de l'hypothèse de normalité
- De nombreuses procédures classiques supposent la normalité multivariée, mais les données multivariées réelles présentent souvent des queues lourdes ou une asymétrie, ce qui a conduit au développement d'alternatives robustes et de distributions elliptiques, ainsi qu'à des tests de normalité multivariée.
Key figures
- T. W. Anderson
- Robb Muirhead
Related topics
Seminal works
- anderson2003
- mardia1979
- muirhead1982
Frequently asked questions
- Une corrélation nulle implique-t-elle l'indépendance pour les variables normales ?
- Pour les composantes d'un unique vecteur normal multivarié, les composantes non corrélées sont effectivement indépendantes ; cette équivalence est spécifique à la distribution normale et ne s'applique pas aux distributions en général.
- Qu'est-ce que la distance de Mahalanobis ?
- C'est une distance d'un point à la moyenne ajustée en fonction de l'échelle et de la corrélation ; pour les données normales multivariées, son carré suit une distribution du chi-deux et est utilisé pour détecter les valeurs aberrantes et en classification.