Régression multiple multivariée

La régression multiple multivariée prédit simultanément plusieurs réponses continues à partir d'un ensemble commun de prédicteurs, en modélisant les corrélations entre les réponses.

Definition

La régression multiple multivariée est un modèle linéaire dans lequel un vecteur de réponses est régressé sur des prédicteurs partagés avec des erreurs corrélées, estimé et testé en tenant compte de la structure de covariance des réponses.

Scope

Ce sujet aborde le modèle linéaire multivarié avec une matrice de réponses, l'estimation par les moindres carrés qui coïncide avec la régression équation par équation pour les estimations ponctuelles, le rôle de la covariance des erreurs dans l'inférence, les tests multivariés des hypothèses de régression et les régions de prédiction pour le vecteur de réponses.

Core questions

• Comment plusieurs réponses continues sont-elles prédites conjointement à partir de prédicteurs communs ?
• Quand l'estimation conjointe diffère-t-elle des régressions univariées séparées ?
• Comment les hypothèses concernant la matrice des coefficients sont-elles testées ?
• Comment les régions de prédiction conjointes pour les réponses sont-elles construites ?

Key theories

Moindres carrés matriciels

L'estimation par les moindres carrés de la matrice des coefficients est obtenue colonne par colonne, de sorte que les estimations ponctuelles sont égales à celles des régressions univariées séparées, tandis que la covariance des erreurs estimée lie les réponses entre elles pour l'inférence.

Inférence multivariée sur les coefficients

Les tests d'hypothèses concernant la matrice des coefficients utilisent des statistiques multivariées dérivées des matrices de sommes des carrés et des produits croisés des erreurs et des hypothèses, combinant les preuves à travers les réponses.

Clinical relevance

La régression multiple multivariée est utilisée lorsque plusieurs résultats sont mesurés conjointement et partagent des prédicteurs, permettant des tests d'hypothèses conjoints et des régions de prédiction qui respectent les corrélations entre les résultats.

History

Le modèle linéaire multivarié et sa théorie inférentielle ont été développés dans le cadre de l'analyse multivariée classique du début au milieu du XXe siècle, généralisant la régression univariée aux réponses vectorielles et fournissant les statistiques de test multivariées toujours utilisées.

Key figures

• T. W. Anderson
• Samuel Wilks

Seminal works

• anderson2003
• johnson2007
• mardia1979

Frequently asked questions

Si les estimations ponctuelles sont égales à celles des régressions séparées, pourquoi utiliser le modèle multivarié ?

Parce que l'inférence conjointe, les tests d'hypothèses à travers les réponses et les régions de prédiction dépendent de la covariance des réponses, que le modèle multivarié capture mais que les régressions univariées séparées ignorent.

Quel est le rôle de la matrice de covariance des erreurs ?

Elle quantifie la covariation des erreurs de réponse et intervient dans les statistiques de test multivariées et les régions de prédiction, en tenant compte de la dépendance entre les réponses.