Sigma-algèbres et mesures

Une sigma-algèbre détermine quels ensembles peuvent être mesurés, et une mesure attribue à chacun d'eux une taille cohérente ; ensemble, ils forment l'espace mesurable sur lequel toute la théorie de l'intégration est construite.

Definition

Une sigma-algèbre est une collection de sous-ensembles fermée par complémentation et par unions dénombrables, et une mesure est une fonction d'ensemble non négative et dénombrablement additive sur une sigma-algèbre ; la paire forme un espace mesuré généralisant la longueur, l'aire, le volume et la probabilité.

Scope

Ce sujet aborde les sigma-algèbres et la sigma-algèbre de Borel générée par les ensembles ouverts, les fonctions mesurables, les axiomes d'une mesure avec additivité dénombrable, les mesures extérieures et la construction de Carathéodory, l'élaboration de la mesure de Lebesgue, la complétude et les ensembles de mesure nulle, ainsi que la continuité des mesures le long de suites monotones.

Core questions

• Quelles collections d'ensembles peuvent supporter une notion cohérente de taille ?
• Comment la mesure de Lebesgue sur un espace euclidien est-elle construite à partir d'une mesure extérieure ?
• Qu'apporte l'additivité dénombrable que l'additivité finie ne peut pas ?
• Pourquoi une mesure ne peut-elle pas être définie sur absolument chaque sous-ensemble ?

Key theories

Théorème d'extension de Carathéodory

Une mesure extérieure se restreint à une véritable mesure dénombrablement additive sur la sigma-algèbre de ses ensembles mesurables, la construction qui produit la mesure de Lebesgue et les mesures sur des espaces abstraits à partir de fonctions d'ensemble plus simples.

Existence d'ensembles non mesurables

En supposant l'axiome du choix, il existe des sous-ensembles de la droite réelle auxquels aucune mesure dénombrablement additive et invariante par translation ne peut attribuer une taille, c'est pourquoi une sigma-algèbre plutôt que tous les sous-ensembles est requise.

Clinical relevance

Les espaces mesurés constituent le fondement formel de la théorie des probabilités, où la sigma-algèbre encode les événements observables et la mesure est la distribution de probabilité ; le même cadre soutient l'intégration, le traitement rigoureux de l'aléatoire en statistique et en finance, et la définition des espaces fonctionnels en analyse.

History

Borel a introduit la sigma-algèbre d'ensembles construits à partir d'intervalles vers 1898, et Lebesgue a défini la mesure sur la droite en 1902. La méthode de la mesure extérieure de Carathéodory a généralisé la construction aux espaces abstraits, et l'exemple de Vitali de 1905 a mis en évidence un ensemble non mesurable.

Key figures

• Constantin Caratheodory
• Emile Borel
• Henri Lebesgue

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

Pourquoi ne pas simplement mesurer chaque sous-ensemble de la droite ?

En utilisant l'axiome du choix, on peut construire des ensembles, tels que les ensembles de Vitali, auxquels on ne peut pas attribuer une taille cohérente avec l'invariance par translation et l'additivité dénombrable, de sorte que la mesure est restreinte à une sigma-algèbre.

Quel est le rôle de l'additivité dénombrable ?

L'additivité dénombrable, selon laquelle la mesure d'une union disjointe dénombrable est la somme des mesures, est ce qui permet aux mesures d'interagir efficacement avec les limites et rend possibles les théorèmes de convergence de l'intégration.