Espaces Lp

Les espaces Lp regroupent les fonctions dont la puissance p-ième est intégrable, formant des espaces normés complets qui constituent le pont entre la théorie de la mesure et l'analyse fonctionnelle.

Definition

Pour un espace mesuré et un exposant p supérieur ou égal à un, l'espace Lp est constitué de classes d'équivalence de fonctions mesurables dont la valeur absolue élevée à la puissance p possède une intégrale finie, normé par la racine p-ième de cette intégrale.

Scope

Ce sujet aborde la norme Lp et l'identification des fonctions égales presque partout, les inégalités de Hölder et de Minkowski, la complétude des espaces Lp exprimée par le théorème de Riesz-Fischer, le cas particulier des fonctions de carré intégrable en tant qu'espace de Hilbert, la dualité entre exposants conjugués, et la densité des fonctions simples et continues.

Core questions

• Pourquoi les éléments de Lp doivent-ils être des classes d'équivalence de fonctions plutôt que des fonctions ?
• Quelles inégalités font de la norme Lp une véritable norme et contrôlent les produits de fonctions ?
• Pourquoi chaque espace Lp est-il complet, et pourquoi cela est-il important ?
• Comment les duaux des espaces Lp sont-ils identifiés par le biais d'exposants conjugués ?

Key theories

Inégalités de Hölder et de Minkowski

L'inégalité de Hölder borne l'intégrale d'un produit par le produit des normes Lp aux exposants conjugués, et l'inégalité de Minkowski établit l'inégalité triangulaire pour la norme Lp, ces deux estimations faisant de Lp un espace normé.

Théorème de complétude de Riesz-Fischer

Chaque espace Lp est complet, il s'agit donc d'un espace de Banach et, pour l'exposant deux, d'un espace de Hilbert ; la complétude est ce qui relie la théorie de la mesure à l'analyse fonctionnelle et sous-tend les développements de Fourier.

Clinical relevance

Les espaces Lp constituent le cadre naturel pour les signaux d'énergie finie et de puissance finie, pour la formulation variationnelle des équations aux dérivées partielles via les espaces de Sobolev, ainsi que pour les probabilités et les statistiques, où l'espace des variables aléatoires de carré intégrable sous-tend la géométrie de la variance, de la corrélation et de l'estimation par les moindres carrés.

History

Riesz et Fischer ont prouvé indépendamment la complétude des fonctions de carré intégrable en 1907, un résultat rapidement étendu aux exposants généraux. Les espaces Lp sont devenus les prototypes des espaces de Banach dans le développement de l'analyse fonctionnelle par Riesz et Banach.

Key figures

• Frigyes Riesz
• Ernst Fischer
• Otto Holder

Seminal works

• folland1999
• brezis2011

Frequently asked questions

Pourquoi les éléments de Lp sont-ils des classes d'équivalence plutôt que des fonctions ?

La norme Lp ne peut pas distinguer les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble de mesure nulle, donc pour obtenir une véritable norme, on identifie les fonctions qui sont égales presque partout et on travaille avec les classes d'équivalence résultantes.

Qu'est-ce qui est particulier au cas où p est égal à deux ?

L'espace des fonctions de carré intégrable est un espace de Hilbert, le seul espace Lp doté d'un produit scalaire, ce qui lui confère l'orthogonalité et la projection et en fait le cadre de l'analyse de Fourier et des états quantiques.