Intégration de Lebesgue

L'intégrale de Lebesgue définit l'intégrale d'une fonction mesurable en l'approximant par des fonctions simples pondérées par une mesure, produisant ainsi une intégrale qui interagit de manière robuste avec les limites.

Definition

L'intégration de Lebesgue définit l'intégrale d'une fonction mesurable non négative comme le supremum des intégrales de fonctions simples qui lui sont inférieures, et l'étend aux fonctions signées et complexes en intégrant les parties positives et négatives, produisant ainsi une intégrale définie par rapport à toute mesure.

Scope

Ce sujet aborde les fonctions simples et l'intégrale des fonctions mesurables non négatives, l'intégrale des fonctions générales et à valeurs complexes, le théorème de convergence monotone, le lemme de Fatou, le théorème de convergence dominée, les énoncés « presque partout », et la comparaison avec l'intégrale de Riemann.

Core questions

• Comment l'intégrale est-elle construite à partir de fonctions simples et d'une mesure ?
• Dans quelles conditions une limite peut-elle être déplacée à l'intérieur d'une intégrale ?
• Que signifie pour une propriété d'être vraie presque partout, et pourquoi est-ce la bonne notion ?
• Comment l'intégration de Lebesgue se rapporte-t-elle à l'intégrale de Riemann et l'étend-elle ?

Key theories

Théorème de convergence monotone et lemme de Fatou

Pour les fonctions mesurables non négatives, l'intégrale d'une limite croissante est la limite des intégrales, et en général l'intégrale d'une limite inférieure (liminf) ne dépasse pas la limite inférieure des intégrales, constituant les outils de base pour faire passer les limites à travers les intégrales.

Théorème de convergence dominée

Si des fonctions convergent presque partout et sont bornées en taille par une fonction intégrable fixe, la limite de leurs intégrales est égale à l'intégrale de la limite, ce qui en fait le théorème d'échange le plus utilisé en intégration.

Clinical relevance

L'intégrale de Lebesgue représente l'espérance en théorie des probabilités et est l'intégrale sous-jacente à l'analyse de Fourier et à l'analyse fonctionnelle ; ses théorèmes de convergence justifient l'échange des limites, des sommes et des intégrales dans les dérivations en physique, en statistique et en mathématiques appliquées, et ils rendent complets les espaces de fonctions Lp.

History

Lebesgue a défini son intégrale en 1902, et les théorèmes de convergence ont été établis peu après, avec le lemme de Fatou apparaissant dans son travail de 1906 sur les séries et le théorème de convergence monotone de Levi en 1906. Ces résultats ont doté l'analyse de son intégrale moderne, favorable aux limites.

Key figures

• Henri Lebesgue
• Pierre Fatou
• Beppo Levi

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

Que signifie « presque partout » ?

Un énoncé est vrai presque partout si l'ensemble où il est faux est de mesure nulle ; l'intégrale de Lebesgue ne peut pas détecter les changements sur de tels ensembles, de sorte que les fonctions égales presque partout ont la même intégrale.

Pourquoi les théorèmes de convergence sont-ils le principal avantage ?

Les théorèmes de convergence monotone et dominée permettent de déplacer les limites à l'intérieur des intégrales sous des hypothèses modérées, ce qui est précisément la flexibilité qui manque à l'intégrale de Riemann et dont dépendent la théorie des probabilités et l'analyse.