Mesures de Radon-Nikodym et mesures produit

Ces résultats comparent et combinent des mesures : le théorème de Radon-Nikodym représente une mesure comme une densité multipliée par une autre, tandis que les mesures produit et le théorème de Fubini transforment l'intégration sur plusieurs variables en un processus itéré.

Definition

Le théorème de Radon-Nikodym énonce qu'une mesure absolument continue par rapport à une mesure sigma-finie est égale à l'intégrale d'une densité par rapport à celle-ci ; une mesure produit étend les mesures définies sur des espaces facteurs à leur produit, permettant ainsi d'effectuer l'intégration multivariable une variable à la fois.

Scope

Ce sujet aborde les mesures signées et complexes avec les décompositions de Hahn et de Jordan, la continuité absolue et la singularité mutuelle, la décomposition de Lebesgue, le théorème de Radon-Nikodym et sa dérivée, la construction des mesures produit, ainsi que les théorèmes de Fubini et de Tonelli pour l'interversion de l'ordre des intégrales itérées.

Core questions

• Comment une mesure est-elle décomposée par rapport à une autre en parties absolument continues et singulières ?
• Quand une mesure possède-t-elle une densité par rapport à une autre, et quelle est cette densité ?
• Comment une mesure sur un espace produit est-elle construite à partir de mesures sur les facteurs ?
• Quand l'ordre d'une intégrale itérée peut-il être interverti ?

Key theories

Théorème de Radon-Nikodym

Si une mesure est absolument continue par rapport à une mesure sigma-finie, elle est l'intégrale d'une fonction de densité unique, la dérivée de Radon-Nikodym, qui constitue le fondement rigoureux des densités de probabilité et de l'espérance conditionnelle.

Théorème de Fubini-Tonelli

Sous l'hypothèse de sigma-finitude, une intégrale sur un espace produit est égale à l'une ou l'autre des intégrales itérées, avec la forme de Tonelli pour les fonctions non négatives et la forme de Fubini pour les fonctions intégrables, justifiant ainsi l'interversion de l'ordre d'intégration.

Clinical relevance

La dérivée de Radon-Nikodym est la fonction de densité de probabilité et le rapport de vraisemblance en statistique, et constitue la base rigoureuse de l'espérance conditionnelle en probabilité, tandis que les mesures produit et le théorème de Fubini sous-tendent le traitement des distributions conjointes, de l'indépendance et des intégrales multidimensionnelles en physique et en mathématiques appliquées.

History

Radon a démontré le théorème de densité pour l'espace euclidien en 1913, et Nikodym l'a étendu aux mesures abstraites en 1930. Le théorème de Fubini sur l'intégration itérée date de 1907 et a été complété par la version non négative de Tonelli en 1909, achevant ainsi la théorie de l'intégration produit.

Key figures

• Johann Radon
• Otton Nikodym
• Guido Fubini

Seminal works

• folland1999
• cohn2013

Frequently asked questions

Qu'est-ce que la dérivée de Radon-Nikodym ?

C'est la fonction de densité qui exprime une mesure comme une intégrale par rapport à une autre lorsque la première est absolument continue par rapport à la seconde ; en probabilité, c'est précisément la fonction de densité de probabilité.

Quand l'ordre d'une intégrale double peut-il être interverti ?

Le théorème de Tonelli le permet pour les fonctions mesurables non négatives sur des espaces sigma-finis, et le théorème de Fubini le permet chaque fois que la fonction est intégrable sur le produit ; ensemble, ils couvrent les cas rencontrés en pratique.