Espaces de probabilité et événements

Un espace de probabilité est le triplet composé d'un espace d'échantillons (ou univers des possibles) d'issues, d'une tribu (ou sigma-algèbre) d'événements, et d'une mesure de probabilité attribuant à chaque événement un nombre entre zéro et un ; il constitue le cadre fondamental de toute la théorie des probabilités.

Definition

Un espace de probabilité est un triplet composé d'un espace d'échantillons, d'une tribu (ou sigma-algèbre) de sous-ensembles mesurables appelés événements, et d'une mesure de probabilité dénombrablement additive de masse totale un qui attribue à chaque événement sa probabilité.

Scope

Ce sujet aborde l'espace des échantillons et la tribu d'événements, les axiomes qu'une mesure de probabilité doit satisfaire, la continuité de la probabilité le long de suites croissantes et décroissantes d'événements, la construction de mesures à partir de fonctions d'ensemble via l'extension de Carathéodory, et les constructions standard telles que la mesure de Lebesgue sur l'intervalle unitaire en tant qu'espace de probabilité canonique.

Core questions

• Quelle est la différence entre une issue et un événement, et pourquoi les événements doivent-ils former une tribu (ou sigma-algèbre) ?
• Quelles propriétés définissent une mesure de probabilité, et comment entraînent-elles la continuité par en dessous et par en dessus ?
• Comment une mesure de probabilité est-elle construite à partir d'une description des probabilités sur des ensembles simples ?
• Quel espace de probabilité canonique sous-tend des modèles familiers tels qu'un nombre aléatoire uniforme sur l'intervalle unitaire ?

Key concepts

• espace des échantillons et issues
• tribu (ou sigma-algèbre) d'événements
• additivité dénombrable
• continuité de la probabilité
• événements nuls et propriétés presque sûres

Key theories

Axiomes d'une mesure de probabilité

Une mesure de probabilité est non négative, attribue la probabilité un à l'espace des échantillons entier, et est dénombrablement additive sur des événements disjoints ; ces axiomes impliquent la monotonie, la formule d'inclusion-exclusion et la continuité le long de suites monotones d'événements.

Théorème d'extension de Carathéodory

Une fonction d'ensemble dénombrablement additive définie sur une algèbre s'étend de manière unique à une mesure sur la tribu (ou sigma-algèbre) générée, ce qui permet de spécifier une mesure de probabilité sur des événements simples et de l'étendre ensuite à tous les événements mesurables.

Clinical relevance

Le formalisme de l'espace de probabilité est ce qui rend les énoncés sur les phénomènes aléatoires non ambigus ; tout modèle probabiliste appliqué, des systèmes de files d'attente à l'inférence statistique et à la modélisation des risques, est implicitement une assertion concernant un espace de probabilité et les événements qui y sont définis.

History

Bien que des probabilités informelles aient été calculées pendant des siècles, la notion précise d'espace de probabilité remonte à l'axiomatisation de Kolmogorov en 1933, qui a emprunté le mécanisme d'extension de Carathéodory à la théorie de la mesure pour donner aux événements et à leurs probabilités un cadre rigoureux.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Constantin Caratheodory
• Emile Borel

Seminal works

• kolmogorov1933

Frequently asked questions

Pourquoi ne pas simplement attribuer des probabilités à chaque sous-ensemble de l'espace des échantillons ?

Pour les espaces d'échantillons non dénombrables, aucune probabilité dénombrablement additive cohérente ne peut être définie sur tous les sous-ensembles ; les probabilités sont donc restreintes à une tribu (ou sigma-algèbre) d'événements mesurables, qui contient néanmoins tout événement d'intérêt pratique.

Que signifie « presque sûrement » ?

Un événement se produit presque sûrement si son complément a une probabilité nulle ; de tels événements nuls peuvent être ignorés pour le calcul des probabilités et des espérances, même s'ils ne sont pas littéralement impossibles.