Procesos de Nacimiento y Muerte

Un proceso de nacimiento y muerte es una cadena de Markov en tiempo continuo sobre los números enteros que aumenta o disminuye de uno en uno, con tasas de nacimiento y muerte que dependen del tamaño actual de la población.

Definition

Un proceso de nacimiento y muerte es una cadena de Markov en tiempo continuo sobre los números enteros no negativos cuyas únicas transiciones son hacia arriba en uno a una tasa de nacimiento dependiente del estado y hacia abajo en uno a una tasa de muerte dependiente del estado, por lo que sus trayectorias de muestra cambian en pasos unitarios.

Scope

Este tema abarca la estructura de las tasas de transición de vecinos más cercanos, los casos especiales de procesos de nacimiento puro y muerte pura, soluciones transitorias y probabilidades de extinción, la distribución estacionaria obtenida del balance detallado, y aplicaciones a poblaciones y colas, incluyendo los sistemas M/M/1 y M/M/c.

Core questions

• ¿Cómo determinan las tasas de nacimiento y muerte dependientes del estado la dinámica?
• ¿Cuándo tiene un proceso de nacimiento y muerte una distribución estacionaria y qué forma adopta?
• ¿Cómo se calculan las probabilidades de extinción y explosión?
• ¿Cómo surgen los sistemas de colas como procesos de nacimiento y muerte?

Key theories

Balance detallado y la distribución estacionaria

Debido a que las transiciones son a estados vecinos, un proceso de nacimiento y muerte es reversible y su distribución estacionaria se obtiene explícitamente de las ecuaciones de balance detallado como un producto de sucesivas razones de tasas de nacimiento a muerte.

Análisis de extinción y absorción

Los argumentos de primer paso y de función generatriz proporcionan probabilidades de extinción y tiempos esperados hasta la absorción cuando cero es un estado absorbente, caracterizando si una población se extingue y con qué rapidez.

Clinical relevance

Los procesos de nacimiento y muerte modelan poblaciones biológicas, la propagación y eliminación de infecciones, el número de clientes en una cola y la ocupación de canales de comunicación; la cola M/M/1, un proceso de nacimiento y muerte con tasas constantes de llegada y servicio, es el ejemplo canónico que vincula este tema con la teoría de colas.

History

El proceso de nacimiento puro fue introducido por Yule en 1925 para modelar el crecimiento de géneros biológicos, Feller analizó procesos generales de nacimiento y muerte en las décadas de 1930 y 1940, y el marco se volvió central para la teoría de colas a través del trabajo de Erlang y sus sucesores sobre el tráfico telefónico.

Key figures

• William Feller
• George Udny Yule
• Alfred Lotka

Seminal works

• karlinTaylor1975

Frequently asked questions

¿Qué hace que un proceso sea un proceso de nacimiento y muerte?

Es una cadena de Markov en tiempo continuo sobre los números enteros cuyas transiciones se mueven solo a los vecinos más cercanos, aumentando o disminuyendo el recuento en uno según las tasas de nacimiento y muerte.

¿Por qué los procesos de nacimiento y muerte son siempre reversibles?

Debido a que el espacio de estados es lineal y las transiciones son solo entre estados adyacentes, el flujo entre dos vecinos cualesquiera se equilibra, por lo que las ecuaciones de balance detallado se cumplen y proporcionan la distribución estacionaria directamente.