Teoría de la Renovación
La teoría de la renovación estudia procesos que se reinician en cada ocurrencia de un evento, donde los tiempos entre eventos sucesivos son independientes e idénticamente distribuidos.
Definition
Un proceso de renovación es un proceso de conteo cuyas duraciones entre llegadas son variables aleatorias positivas independientes e idénticamente distribuidas, y la teoría de la renovación analiza la función de renovación resultante, su comportamiento asintótico y el comportamiento límite de cantidades asociadas como la edad y la vida residual.
Scope
Este tema abarca el proceso de renovación y la función de renovación, la ecuación de renovación y su solución, el teorema elemental de renovación que proporciona la tasa de renovación a largo plazo, el teorema clave de renovación y el teorema de Blackwell sobre incrementos asintóticos, la paradoja de la inspección y la distribución de la edad y la vida residual, y los procesos de renovación retrasados y estacionarios.
Core questions
- ¿Cómo se define y calcula la función de renovación a partir de la distribución entre llegadas?
- ¿Cuál es la tasa de renovación a largo plazo?
- ¿Qué describen asintóticamente los teoremas clave de renovación y de Blackwell?
- ¿Por qué la paradoja de la inspección hace que un intervalo observado típico sea más largo que el promedio?
Key theories
- Teoremas elemental y clave de renovación
- La tasa de renovación a largo plazo es igual al recíproco del tiempo medio entre llegadas, y el teorema clave de renovación proporciona el valor límite de la convolución de una función con la densidad de renovación, suministrando el comportamiento asintótico de una amplia clase de ecuaciones de renovación.
- Edad, vida residual y la paradoja de la inspección
- El intervalo que cubre un tiempo de observación fijo es estocásticamente más largo que un intervalo típico entre llegadas porque los intervalos más largos tienen más probabilidades de ser muestreados, y las distribuciones límite de edad y vida residual se derivan de la densidad de renovación de equilibrio.
Clinical relevance
La teoría de la renovación modela el reemplazo de componentes en ingeniería de fiabilidad, la recurrencia de eventos en el análisis de mantenimiento y garantía, y el costo a largo plazo de operar sistemas con tiempos de falla aleatorios, y proporciona la base asintótica para modelos de colas e inventarios.
History
La teoría de la renovación surgió de problemas de reemplazo de población y reemplazo industrial en las décadas de 1930 y 1940, con Feller y Smith estableciendo la ecuación de renovación y su comportamiento asintótico, Blackwell demostrando su teorema de renovación en 1948, y la monografía de Cox de 1962 dando al tema su exposición estándar.
Key figures
- William Feller
- David Blackwell
- David Cox
- Walter Smith
Related topics
Seminal works
- coxRenewal1962
Frequently asked questions
- ¿Qué es un proceso de renovación?
- Es un proceso que cuenta eventos cuyas duraciones entre llegadas son independientes e idénticamente distribuidas; el proceso de Poisson es el caso especial donde esas duraciones son exponenciales.
- ¿Qué es la paradoja de la inspección?
- Si se observa un proceso de renovación en un momento fijo, el intervalo que contiene ese momento tiende a ser más largo que un intervalo elegido al azar, porque los intervalos más largos tienen más probabilidades de ser el que se encuentra.