Erneuerungstheorie

Die Erneuerungstheorie untersucht Prozesse, die bei jedem Auftreten eines Ereignisses neu starten, wobei die Zeitabstände zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen unabhängig und identisch verteilt sind.

Definition

Ein Erneuerungsprozess ist ein Zählprozess, dessen Zwischenankunftszeiten unabhängige und identisch verteilte positive Zufallsvariablen sind, und die Erneuerungstheorie analysiert die daraus resultierende Erneuerungsfunktion, ihre Asymptotik und das Grenzverhalten assoziierter Größen wie Alter und Restlebensdauer.

Scope

Dieses Thema behandelt den Erneuerungsprozess und die Erneuerungsfunktion, die Erneuerungsgleichung und ihre Lösung, das elementare Erneuerungstheorem, das die langfristige Erneuerungsrate angibt, das Schlüssel-Erneuerungstheorem und Blackwells Theorem über asymptotische Inkremente, das Inspektionsparadoxon und die Verteilung von Alter und Restlebensdauer sowie verzögerte und stationäre Erneuerungsprozesse.

Core questions

• Wie wird die Erneuerungsfunktion aus der Zwischenankunftsverteilung definiert und berechnet?
• Wie hoch ist die langfristige Rate der Erneuerungen?
• Was beschreiben die Schlüssel-Erneuerungs- und Blackwell-Theoreme asymptotisch?
• Warum lässt das Inspektionsparadoxon ein typisch beobachtetes Intervall länger als den Durchschnitt erscheinen?

Key theories

Elementare und Schlüssel-Erneuerungstheoreme

Die langfristige Erneuerungsrate entspricht dem Kehrwert der mittleren Zwischenankunftszeit, und das Schlüssel-Erneuerungstheorem gibt den Grenzwert der Faltung einer Funktion mit der Erneuerungsdichte an, wodurch die Asymptotik einer breiten Klasse von Erneuerungsgleichungen geliefert wird.

Alter, Restlebensdauer und das Inspektionsparadoxon

Das Intervall, das einen festen Beobachtungszeitpunkt umfasst, ist stochastisch länger als ein typisches Zwischenankunftsintervall, da längere Intervalle mit größerer Wahrscheinlichkeit abgetastet werden, und die Grenzverteilungen von Alter und Restlebensdauer ergeben sich aus der Gleichgewichts-Erneuerungsdichte.

Clinical relevance

Die Erneuerungstheorie modelliert den Austausch von Komponenten in der Zuverlässigkeitstechnik, das Wiederauftreten von Ereignissen in der Wartungs- und Garantieanalyse sowie die langfristigen Kosten des Betriebs von Systemen mit zufälligen Ausfallzeiten und bildet das asymptotische Rückgrat für Warteschlangen- und Bestandsmodelle.

History

Die Erneuerungstheorie entstand in den 1930er und 1940er Jahren aus Problemen des Bevölkerungsaustauschs und des industriellen Austauschs, wobei Feller und Smith die Erneuerungsgleichung und ihre Asymptotik etablierten, Blackwell 1948 sein Erneuerungstheorem bewies und Cox' Monographie von 1962 dem Thema seine Standarddarstellung verlieh.

Key figures

• William Feller
• David Blackwell
• David Cox
• Walter Smith

Seminal works

• coxRenewal1962

Frequently asked questions

Was ist ein Erneuerungsprozess?

Es ist ein Prozess, der Ereignisse zählt, deren Zwischenankunftszeiten unabhängig und identisch verteilt sind; der Poisson-Prozess ist der Spezialfall, in dem diese Zeiten exponentiell verteilt sind.

Was ist das Inspektionsparadoxon?

Wenn man einen Erneuerungsprozess zu einem festen Zeitpunkt beobachtet, ist das Intervall, das diesen Zeitpunkt enthält, tendenziell länger als ein zufällig gewähltes Intervall, da längere Intervalle mit größerer Wahrscheinlichkeit dasjenige sind, in dem man landet.