Erneuerungs- und Warteschlangentheorie
Die Erneuerungstheorie analysiert Prozesse, die zu Wiederholungszeitpunkten probabilistisch neu starten, und die Warteschlangentheorie wendet dies auf Systeme an, in denen Kunden ankommen, warten und bedient werden.
Definition
Die Erneuerungstheorie untersucht Zählprozesse, deren Zwischenankunftszeiten unabhängig und identisch verteilt sind, wodurch der Poisson-Prozess verallgemeinert wird, während die Warteschlangentheorie Dienstleistungssysteme modelliert, indem sie Ankunfts- und Bedienprozesse kombiniert, um Wartezeiten, Warteschlangenlängen und Auslastung zu untersuchen.
Scope
Dieser Bereich umfasst Erneuerungsprozesse und die Erneuerungsfunktion, die elementaren und zentralen Erneuerungssätze, regenerative Prozesse und den Erneuerungs-Belohnungs-Rahmen, die Struktur und das Gleichgewicht Markowscher Warteschlangen wie M/M/1 und M/M/c, Little's Gesetz, das durchschnittliche Anzahlen und Wartezeiten in Beziehung setzt, sowie Netzwerke interagierender Warteschlangen mit Produktformlösungen.
Sub-topics
Core questions
- Wie erweitert die Verallgemeinerung exponentieller Zwischenankunftszeiten auf beliebige Verteilungen den Poisson-Prozess?
- Was sagen die Erneuerungssätze über langfristige Raten und asymptotisches Verhalten aus?
- Wie sind die durchschnittliche Warteschlangenlänge und die Wartezeit im Gleichgewicht miteinander verbunden?
- Wann lassen Warteschlangennetzwerke handhabbare Produktformlösungen zu?
Key theories
- Erneuerungssätze und Erneuerungs-Belohnung
- Die elementaren und zentralen Erneuerungssätze geben die langfristige Erneuerungsrate und das Grenzverhalten von Lösungen der Erneuerungsgleichung an, und der Erneuerungs-Belohnungs-Satz drückt die langfristige durchschnittliche Belohnung als erwartete Belohnung pro Zyklus geteilt durch die erwartete Zykluslänge aus.
- Little's Gesetz
- In jedem stabilen Warteschlangensystem entspricht die langfristige durchschnittliche Anzahl der anwesenden Kunden der Ankunftsrate multipliziert mit der durchschnittlichen Zeit, die jeder Kunde im System verbringt, eine verteilungsfreie Identität, die Durchsatz, Belegung und Verzögerung in Beziehung setzt.
Clinical relevance
Die Erneuerungs- und Warteschlangentheorie untermauert das Design und die Analyse von Telefon- und Datennetzen, Callcentern, Fertigungslinien, Computersystemen, Transportwesen und der Kapazität von Gesundheitsdiensten, indem sie Verzögerungen, Durchsatz und Ressourcenauslastung in Systemen mit zufälliger Nachfrage quantifiziert.
History
Erlang begründete die Warteschlangentheorie zwischen 1909 und 1920 mit seinen Telefonverkehrsformeln, die Erneuerungstheorie wurde in den 1940er und 1950er Jahren von Feller, Smith und Cox entwickelt, und Little's Beweis der Warteschlangenlängenidentität von 1961 sowie Jacksons Netzwerkergebnisse von 1957 erweiterten die Theorie auf komplexe Dienstleistungssysteme.
Key figures
- Agner Krarup Erlang
- William Feller
- David Cox
- John Little
Related topics
Seminal works
- asmussen2003
Frequently asked questions
- Wie verallgemeinert die Erneuerungstheorie den Poisson-Prozess?
- Sie ersetzt die exponentiellen Zwischenankunftszeiten des Poisson-Prozesses durch beliebige, unabhängige, identisch verteilte Zeiten, sodass der Prozess die Erneuerungsstruktur beibehält, aber die Gedächtnislosigkeitseigenschaft verliert.
- Was ist Little's Gesetz?
- Es besagt, dass die durchschnittliche Anzahl der Kunden in einem stabilen System der Ankunftsrate multipliziert mit der durchschnittlichen Zeit entspricht, die ein Kunde dort verbringt, unabhängig von den Ankunfts- oder Bedienverteilungen.