Geburts- und Todesprozesse

Ein Geburts- und Todesprozess ist eine zeitkontinuierliche Markow-Kette auf den ganzen Zahlen, die sich jeweils um eins erhöht oder verringert, wobei die Geburts- und Sterberaten von der aktuellen Populationsgröße abhängen.

Definition

Ein Geburts- und Todesprozess ist eine zeitkontinuierliche Markow-Kette auf den nicht-negativen ganzen Zahlen, deren einzige Übergänge eine Erhöhung um eins mit einer zustandsabhängigen Geburtsrate und eine Verringerung um eins mit einer zustandsabhängigen Sterberate sind, sodass sich ihre Stichprobenpfade in Einheitsschritten ändern.

Scope

Dieses Thema behandelt die Struktur von Übergangsraten zu nächsten Nachbarn, die Spezialfälle reiner Geburts- und reiner Todesprozesse, transiente Lösungen und Aussterbewahrscheinlichkeiten, die stationäre Verteilung, die aus dem detaillierten Gleichgewicht erhalten wird, und Anwendungen auf Populationen und Warteschlangen, einschließlich der M/M/1- und M/M/c-Systeme.

Core questions

• Wie bestimmen zustandsabhängige Geburts- und Sterberaten die Dynamik?
• Wann hat ein Geburts- und Todesprozess eine stationäre Verteilung, und welche Form nimmt diese an?
• Wie werden Aussterbe- und Explosionswahrscheinlichkeiten berechnet?
• Wie entstehen Warteschlangensysteme als Geburts- und Todesprozesse?

Key theories

Detailliertes Gleichgewicht und die stationäre Verteilung

Da Übergänge zu benachbarten Zuständen erfolgen, ist ein Geburts- und Todesprozess reversibel, und seine stationäre Verteilung wird explizit aus den detaillierten Gleichgewichtsbedingungen als Produkt sukzessiver Verhältnisse von Geburts- zu Sterberaten erhalten.

Aussterbe- und Absorptionsanalyse

Argumente des ersten Schritts und der erzeugenden Funktion liefern Aussterbewahrscheinlichkeiten und erwartete Absorptionszeiten, wenn Null ein absorbierender Zustand ist, und charakterisieren, ob eine Population ausstirbt und wie schnell.

Clinical relevance

Geburts- und Todesprozesse modellieren biologische Populationen, die Ausbreitung und Eliminierung von Infektionen, die Anzahl der Kunden in einer Warteschlange und die Belegung von Kommunikationskanälen; die M/M/1-Warteschlange, ein Geburts- und Todesprozess mit konstanten Ankunfts- und Bedienraten, ist das kanonische Beispiel, das dieses Thema mit der Warteschlangentheorie verbindet.

History

Der reine Geburtsprozess wurde 1925 von Yule eingeführt, um das Wachstum biologischer Gattungen zu modellieren. Feller analysierte in den 1930er und 1940er Jahren allgemeine Geburts- und Todesprozesse, und der Rahmen wurde durch die Arbeit von Erlang und seinen Nachfolgern zum Telefonverkehr zentral für die Warteschlangentheorie.

Key figures

• William Feller
• George Udny Yule
• Alfred Lotka

Seminal works

• karlinTaylor1975

Frequently asked questions

Was macht einen Prozess zu einem Geburts- und Todesprozess?

Es ist eine zeitkontinuierliche Markow-Kette auf den ganzen Zahlen, deren Übergänge nur zu den nächsten Nachbarn führen, wobei die Zählung gemäß Geburts- und Sterberaten um eins erhöht oder verringert wird.

Warum sind Geburts- und Todesprozesse immer reversibel?

Da der Zustandsraum linear ist und Übergänge nur zwischen benachbarten Zuständen stattfinden, gleicht sich der Fluss zwischen zwei beliebigen Nachbarn im Gleichgewicht aus, sodass die detaillierten Gleichgewichtsbedingungen gelten und die stationäre Verteilung direkt liefern.