Poisson-Prozesse

Der Poisson-Prozess ist das Modell für Punkte, die vollständig zufällig in Zeit oder Raum verteilt sind, wobei die Zählungen über disjunkte Regionen unabhängig und Poisson-verteilt sind, was ihn zur kanonischen Beschreibung zufälliger Ankünfte macht.

Definition

Ein Poisson-Prozess ist ein Zählprozess, dessen Ereignisanzahlen in disjunkten Regionen unabhängig und Poisson-verteilt sind, mit einem Mittelwert, der proportional zur Größe der Region ist, äquivalent ein Prozess von Punkten mit unabhängigen und stationären Inkrementen.

Scope

Das Thema umfasst den homogenen Poisson-Prozess auf der Linie, definiert durch unabhängige exponentielle Zwischenankunftszeiten, seine äquivalente Charakterisierung durch unabhängige Poisson-verteilte Inkremente, die inhomogenen und räumlichen Poisson-Punktprozesse, die Superpositions- und Ausdünnungsoperationen, die Ordnungsstatistik-Eigenschaft konditionierter Ankunftszeiten und den Poisson-Prozess als den einfachsten kontinuierlichen Markov-Zählprozess.

Core questions

• Welche Unabhängigkeits- und Verteilungseigenschaften charakterisieren vollständig zufällige Punkte?
• Warum sind die Wartezeiten zwischen Poisson-Ereignissen exponentiell verteilt und gedächtnislos?
• Wie kombinieren und teilen Superposition und Ausdünnung Poisson-Prozesse?
• Wie sind die Ankunftszeiten verteilt, wenn die Anzahl der Ankünfte bekannt ist?

Key concepts

• unabhängige Inkremente
• exponentielle Zwischenankunftszeiten
• Superposition und Ausdünnung
• inhomogene Intensität
• räumlicher Punktprozess

Key theories

Definierende Eigenschaften des Poisson-Prozesses

Unabhängige Poisson-verteilte Zählungen über disjunkte Mengen, exponentielle gedächtnislose Zwischenankunftszeiten und die Grenze vieler seltener unabhängiger Ereignisse beschreiben alle denselben Prozess, drei äquivalente Charakterisierungen, die seine Universalität erklären.

Superposition, Ausdünnung und die Ordnungsstatistik-Eigenschaft

Das Zusammenführen unabhängiger Poisson-Prozesse addiert ihre Raten, das unabhängige Beibehalten jedes Punktes mit einer festen Wahrscheinlichkeit ergibt einen ausgedünnten Poisson-Prozess, und konditioniert auf die Zählung sind die Ankunftszeiten als geordnete gleichmäßige Stichproben verteilt, ein Werkzeugkasten zur Manipulation von Poisson-Punkten.

Clinical relevance

Der Poisson-Prozess ist das Standardmodell für Ankunftsströme in Warteschlangen und Telekommunikation, für den Zeitpunkt radioaktiver Zerfälle und Photonen-Detektionen, für die Ankunft von Versicherungsansprüchen und als räumliches Punktprozessmodell für die Standorte von Sternen, Bäumen oder zellulären Ereignissen, wobei seine Ausdünnungs- und Superpositionsregeln die Analyse handhabbar machen.

History

Poisson leitete 1837 das Grenzgesetz seltener Ereignisse ab. Erlang wandte Poisson-Ankünfte im frühen 20. Jahrhundert auf den Telefonverkehr an und begründete damit die Warteschlangentheorie, und Kingman lieferte die moderne maßtheoretische Behandlung von Poisson-Punktprozessen auf allgemeinen Räumen.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Warum sind die Zeiten zwischen Poisson-Ereignissen exponentiell?

Weil der Prozess kein Gedächtnis hat: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im nächsten Moment hängt nicht davon ab, wie lange man bereits gewartet hat, und die Exponentialverteilung ist die einzige kontinuierliche Verteilung mit dieser gedächtnislosen Eigenschaft.

Was bewirkt das Ausdünnen eines Poisson-Prozesses?

Wenn jeder Punkt eines Poisson-Prozesses unabhängig mit einer festen Wahrscheinlichkeit beibehalten wird, bilden die verbleibenden Punkte wieder einen Poisson-Prozess, dessen Rate um diese Wahrscheinlichkeit skaliert ist, und die beibehaltenen und verworfenen Punkte sind unabhängig.