Poisson- und Punktprozesse
Ein Punktprozess ist eine zufällige Streuung von Punkten in Zeit oder Raum; der Poisson-Prozess, bei dem disjunkte Regionen unabhängige Poisson-verteilte Zählungen enthalten, ist sein grundlegendes Beispiel.
Definition
Ein Punktprozess ist ein zufälliges Maß, das eine diskrete Menge von Punkten in einem Raum platziert, und der Poisson-Prozess ist der Punktprozess, bei dem die Anzahl der Punkte in jeder Region Poisson-verteilt ist mit einem Mittelwert, der durch ein Intensitätsmaß gegeben ist, und die Zählungen in disjunkten Regionen unabhängig sind.
Scope
Dieser Bereich umfasst den homogenen Poisson-Prozess und seine Charakterisierungen durch unabhängige exponentielle Zwischenankunftszeiten und unabhängige Inkremente, inhomogene und zusammengesetzte Poisson-Prozesse, die allgemeine Theorie der Punktprozesse als zufällige Zählmaße, Intensität und Markierungen, Operationen wie Superposition, Ausdünnung und Abbildung sowie räumliche Punktmuster.
Sub-topics
Core questions
- Was definiert einen Poisson-Prozess und welche äquivalenten Charakterisierungen beschreiben ihn?
- Wie entstehen unabhängige Inkremente und exponentielle Zwischenankunftszeiten?
- Wie werden Punktprozesse als zufällige Zählmaße formalisiert?
- Wie transformieren Ausdünnung, Superposition und Abbildung Poisson-Prozesse?
Key theories
- Charakterisierungen des Poisson-Prozesses
- Der homogene Poisson-Prozess wird äquivalent durch Poisson-Zählungen mit unabhängigen Inkrementen, durch unabhängige und identisch verteilte exponentielle Zwischenankunftszeiten und als der einzigartige einfache Punktprozess mit stationären unabhängigen Inkrementen und keinen festen Atomen beschrieben.
- Abbildungs-, Ausdünnungs- und Superpositionstheoreme
- Unabhängiges Verschieben, zufälliges Löschen oder Zusammenführen von Punkten von Poisson-Prozessen führt wiederum zu Poisson-Prozessen mit transformierten Intensitätsmaßen, eine Robustheit, die den Poisson-Prozess zum kanonischen Modell für vollständig zufällige Punkte macht.
Clinical relevance
Punktprozesse modellieren die Ankunft von Kunden, Telefonanrufen, radioaktiven Zerfällen, Versicherungsansprüchen, neuronalen Spikes und die räumlichen Standorte von Bäumen, Galaxien oder Krankheitsfällen; der Poisson-Prozess dient als Basislinie der vollständigen räumlichen Zufälligkeit, anhand derer Clustering oder Regelmäßigkeit beurteilt wird.
History
Die Poisson-Verteilung entstand in Poissons Arbeit von 1837 über Urteile, der Prozess wurde von Erlang ab 1909 zur Modellierung des Telefonverkehrs und von Bateman und Rutherford für den radioaktiven Zerfall verwendet, und die moderne maßtheoretische Theorie der Punktprozesse wurde in der späteren zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts von Kingman, Daley und Vere-Jones konsolidiert.
Key figures
- Simeon Denis Poisson
- Agner Krarup Erlang
- John Kingman
Related topics
Seminal works
- kingman1993
Frequently asked questions
- Was ist ein Poisson-Prozess?
- Es ist ein Modell für Punkte, die vollständig zufällig in Zeit oder Raum verteilt sind, wobei die Anzahl der Punkte in jeder Region einer Poisson-Verteilung folgt und die Zählungen in nicht überlappenden Regionen unabhängig sind.
- Warum ist der Poisson-Prozess so weit verbreitet?
- Er ist das natürliche Modell der vollständigen Zufälligkeit, bleibt unter Ausdünnung, Superposition und Abbildung erhalten und entsteht als Grenzwert, wenn sich viele seltene unabhängige Ereignisse ansammeln, was ihn zu einer flexiblen und handhabbaren Basislinie macht.