Homogener Poisson-Prozess

Der homogene Poisson-Prozess zählt Ereignisse, die mit einer konstanten Durchschnittsrate auftreten, wobei die Anzahl der Ereignisse in jedem Intervall Poisson-verteilt ist und die Zählungen in disjunkten Intervallen unabhängig sind.

Definition

Ein homogener Poisson-Prozess der Rate Lambda ist ein Zählprozess, der bei Null beginnt, mit unabhängigen stationären Inkrementen, bei dem die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge t Poisson-verteilt ist mit einem Mittelwert von Lambda mal t, oder äquivalent ein Prozess, dessen Zwischenankunftszeiten unabhängige Exponential-Zufallsvariablen mit der Rate Lambda sind.

Scope

Dieses Thema behandelt den Ratenparameter, die Poisson-Verteilung der Zählungen, unabhängige und stationäre Inkremente, die Exponentialverteilung der Zwischenankunftszeiten und die Gammaverteilung der Ankunftszeiten, die Eigenschaften der Ordnungsstatistiken von Ereigniszeiten, konditioniert auf die Zählung, sowie die Gedächtnislosigkeitseigenschaft, die diesen Ergebnissen zugrunde liegt.

Core questions

• Wie wird der homogene Poisson-Prozess definiert und durch seine Rate parametrisiert?
• Warum sind die Zwischenankunftszeiten exponentiell und unabhängig?
• Wie sind die Ankunftszeiten verteilt, gegeben die Anzahl der Ereignisse?
• Welche Rolle spielt die Gedächtnislosigkeitseigenschaft?

Key theories

Äquivalenz der Zähl- und Zwischenankunftsbeschreibungen

Ein Zählprozess hat Poisson-Inkremente mit stationären unabhängigen Inkrementen genau dann, wenn seine aufeinanderfolgenden Zwischenankunftszeiten unabhängige Exponentialverteilungen mit derselben Rate aufweisen, sodass der Prozess entweder durch Zählen oder durch Summieren von Wartezeiten aufgebaut werden kann.

Eigenschaft der Ordnungsstatistiken

Konditioniert auf die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall sind die Ereigniszeiten als Ordnungsstatistiken unabhängiger gleichverteilter Punkte in diesem Intervall verteilt, was viele bedingte Berechnungen und Simulationen vereinfacht.

Clinical relevance

Der homogene Poisson-Prozess ist das Standardmodell für Ankünfte in Warteschlangen, Zählungen radioaktiven Zerfalls, Photonen-Detektion und das Auftreten seltener Ereignisse. Er dient als Ankunftsmechanismus in den elementaren M/M/1- und M/G/1-Warteschlangen und als Nullmodell der Zufälligkeit in Ereigniszeitdaten.

History

Bortkiewicz' Analyse seltener Ereignisse von 1898 und Erlangs Studie des Telefonverkehrs von 1909 etablierten den Poisson-Prozess empirisch, während Rutherfords und Geigers Zählungen von Alphateilchen im Jahr 1910 eine klassische physikalische Bestätigung lieferten; die rigorose Theorie folgte aus der allgemeinen Untersuchung von Prozessen mit unabhängigen Inkrementen.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• Ernest Rutherford

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Warum sind Poisson-Zwischenankunftszeiten exponentiell verteilt?

Die Unabhängigkeit und Stationarität der Inkremente zwingen die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis, gedächtnislos zu sein, und die einzige kontinuierliche gedächtnislose Verteilung ist die Exponentialverteilung mit einer Rate, die der Prozessrate entspricht.

Was bedeutet der Ratenparameter?

Die Rate Lambda ist die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit; die erwartete Zählung in einem Intervall ist Lambda mal dessen Länge, und die mittlere Zwischenankunftszeit ist eins geteilt durch Lambda.