Regenerative Prozesse
Ein regenerativer Prozess enthält zufällige Zeitpunkte, zu denen er unabhängig von seiner Vergangenheit neu beginnt, wodurch seine Entwicklung in unabhängige und identisch verteilte Zyklen zerfällt.
Definition
Ein regenerativer Prozess ist ein stochastischer Prozess, der zufällige Regenerationszeitpunkte besitzt, die einen Erneuerungsprozess bilden, sodass die Segmente zwischen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten unabhängig und identisch verteilt sind, wodurch der Prozess bei jedem Zeitpunkt probabilistisch neu startet.
Scope
Dieses Thema behandelt Regenerationsperioden und -zyklen, das Erneuerungs-Belohnungs-Theorem, das langfristige Durchschnitte als erwartete Belohnung pro Zyklus über die erwartete Zykluslänge ausdrückt, die Existenz von grenzwertigen zeitstationären Verteilungen, die regenerative Methode für die Steady-State-Simulation und Konfidenzintervalle sowie den Zusammenhang zwischen Regeneration und der Erneuerungsstruktur von Markov-Prozessen.
Core questions
- Was sind Regenerationszeitpunkte und wie unterteilen sie einen Prozess in unabhängige Zyklen?
- Wie liefert das Erneuerungs-Belohnungs-Theorem langfristige Durchschnitte aus einem einzelnen Zyklus?
- Wann hat ein regenerativer Prozess eine Grenzverteilung?
- Wie wird Regeneration für die Steady-State-Simulation und Inferenz genutzt?
Key theories
- Erneuerungs-Belohnungs-Theorem
- Für einen regenerativen Prozess entspricht der langfristige Durchschnitt einer über die Zeit akkumulierten Belohnung der erwarteten Belohnung, die in einem Zyklus erzielt wird, geteilt durch die erwartete Länge eines Zyklus, wodurch Zeitmittelwertberechnungen auf einen einzelnen Regenerationszyklus reduziert werden.
- Grenzverteilung regenerativer Prozesse
- Wenn die Zykluslängenverteilung nicht-Gitter-förmig ist und einen endlichen Mittelwert hat, konvergiert ein regenerativer Prozess in der Verteilung zu einem zeitstationären Gesetz, das durch die erwartete Verweildauer pro Zyklus gegeben ist, was die Existenz eines Steady-State für viele Warteschlangen und Markov-Ketten belegt.
Clinical relevance
Die Regeneration bietet eine vereinheitlichende Methode, um Steady-State-Ergebnisse für Warteschlangen, Bestandssysteme und Markov-Prozesse zu beweisen, und die regenerative Methode liefert strenge Konfidenzintervalle in der diskreten Ereignissimulation, indem sie Zyklusmittelwerte als unabhängige Stichproben behandelt.
History
Die regenerative Sichtweise wurde in den 1950er Jahren von Smith als Erweiterung der Erneuerungstheorie formuliert, und ihre Anwendung auf die Steady-State-Simulation mittels der regenerativen Methode wurde in den 1970er Jahren von Crane und Iglehart entwickelt und ist zu einem Standardwerkzeug in der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie und Leistungsanalyse geworden.
Key figures
- Walter Smith
- Soren Asmussen
- Donald Iglehart
Related topics
Seminal works
- asmussen2003
Frequently asked questions
- Was macht einen Prozess regenerativ?
- Er besitzt zufällige Zeitpunkte, zu denen er unabhängig von seiner Vorgeschichte neu startet, sodass die Abschnitte zwischen diesen Regenerationszeitpunkten unabhängige und identisch verteilte Zyklen sind.
- Warum sind regenerative Prozesse in der Simulation nützlich?
- Da die Zyklen unabhängig sind, verhalten sich die Mittelwerte über die Zyklen wie unabhängige Stichproben, was gültige Konfidenzintervalle für Steady-State-Größen ermöglicht, ohne eine bestimmte Verteilung anzunehmen.