Intuitionistische Logik und Konstruktivismus

Die intuitionistische Logik lehnt den Satz vom ausgeschlossenen Dritten ab und vertritt die Auffassung, dass eine mathematische Aussage nur dann wahr ist, wenn wir einen Beweis dafür konstruieren können.

Definition

Intuitionistische Logik ist die Logik des konstruktiven Beweises, bei der eine Disjunktion einen Beweis eines Disjunktes erfordert und eine Existenzaussage eine Konstruktion eines Zeugen erfordert, so dass der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und der Beweis durch Widerspruch für Existenzaussagen im Allgemeinen nicht gültig sind.

Scope

Dieses Thema behandelt die intuitionistische Logik und die konstruktivistische Philosophie der Mathematik, die sie motiviert. Es behandelt Brouwers Sicht der Mathematik als mentale Konstruktion, Heytings Formalisierung und die beweisbedingte (BHK) Interpretation der Konnektive, das Scheitern des ausgeschlossenen Dritten und der doppelten Negationseliminierung, die Kripke- und topologische Semantik für die intuitionistische Logik sowie Dummetts bedeutungstheoretisches Argument, dass Antirealismus bezüglich der Wahrheit die intuitionistische Logik im Allgemeinen unterstützt.

Core questions

• Warum sollte der Satz vom ausgeschlossenen Dritten scheitern, und für welche Aussagen?
• Was ist die konstruktive Interpretation der logischen Konnektive?
• Ist der Fall für den Intuitionismus spezifisch mathematisch, oder verallgemeinert er sich über die Bedeutungstheorie?
• Wie beleuchten Kripke- und topologische Modelle die intuitionistische Gültigkeit?

Key concepts

• Satz vom ausgeschlossenen Dritten
• konstruktiver Beweis
• BHK-Interpretation
• Doppelnegationsübersetzung
• Kripke-Modelle für den Intuitionismus
• Verifikationismus

Key theories

BHK (beweisbedingte) Interpretation

Die Brouwer-Heyting-Kolmogorov-Interpretation erklärt jedes Konnektiv danach, was als Beweis einer zusammengesetzten Aussage zählt, so dass 'A oder B' einen Beweis von A oder einen Beweis von B erfordert, was den uneingeschränkten Satz vom ausgeschlossenen Dritten blockiert.

Dummetts antirealistisches Argument

Dummett argumentiert, dass eine Bedeutungstheorie, die durch das, was Sprecher manifestieren können, eingeschränkt ist, verifikationsbedingte gegenüber wahrheitsbedingten Semantiken bevorzugt und dass dieser Antirealismus die intuitionistische Logik durchweg vorschreibt, nicht nur in der Mathematik.

History

Brouwer begründete den Intuitionismus in den 1900er-1920er Jahren als konstruktivistische Ablehnung der klassischen Mathematik; Heyting formalisierte die intuitionistische Logik 1930. Kolmogorows Kalkül der Probleme und die BHK-Interpretation klärten ihre Bedeutung, Kripke lieferte später eine relationale Semantik, und Dummett fasste den Intuitionismus als eine allgemeine Konsequenz des semantischen Antirealismus neu auf.

Debates

Verallgemeinert der Antirealismus den Intuitionismus über die Mathematik hinaus?

Ob Dummetts bedeutungstheoretisches Argument den Fall für die intuitionistische Logik erfolgreich von der Mathematik auf den Diskurs im Allgemeinen ausdehnt, oder ob die ursprüngliche Motivation im Wesentlichen an die konstruktive Natur mathematischer Objekte gebunden ist.

Key figures

• L. E. J. Brouwer
• Arend Heyting
• Michael Dummett
• Andrey Kolmogorov
• Per Martin-Lof

Seminal works

• heyting1956
• dummett2000

Frequently asked questions

Lehnt die intuitionistische Logik alle Widerspruchsbeweise ab?

Nicht alle. Intuitionisten akzeptieren den Beweis einer Negation durch Ableitung eines Widerspruchs aus der Annahme, da so die Negation definiert ist. Was sie ablehnen, ist die Begründung einer positiven Existenz- oder Disjunktionsbehauptung lediglich durch Widerlegung ihrer Negation, da dies keinen konstruktiven Zeugen liefert und auf der doppelten Negationseliminierung beruht, die intuitionistisch nicht gültig ist.