Aussagen- und Prädikatenlogik erster Stufe

Aussagen- und Prädikatenlogik erster Stufe sind die grundlegenden formalen Systeme der klassischen Logik, die ausdrucksstark genug sind, um die meisten gewöhnlichen und mathematischen Schlussfolgerungen zu systematisieren.

Definition

Die Aussagenlogik untersucht Schlussfolgerungen zwischen ganzen Sätzen, die durch wahrheitsfunktionale Konnektive verbunden sind; die Prädikatenlogik erster Stufe erweitert diese um Quantoren, die über einen Individuenbereich reichen, sowie um Prädikate und Relationen, wobei die Quantifizierung auf Individuen und nicht auf Eigenschaften beschränkt bleibt.

Scope

Dieses Thema behandelt die Syntax, Semantik und Beweistheorie des klassischen Aussagenkalküls (wahrheitsfunktionale Konnektive) und der Prädikatenlogik erster Stufe (Quantoren, Variablen und Relationen). Es umfasst die zentralen metatheoretischen Ergebnisse – Vollständigkeit, Korrektheit, Kompaktheit und die Sätze von Löwenheim-Skolem – sowie die philosophische Bedeutung der Prädikatenlogik erster Stufe als kanonischer Rahmen für die Systematisierung von Argumenten und für die Grundlagen der Mathematik.

Core questions

• Welche Ausdruckskraft besitzt die Prädikatenlogik erster Stufe, und was kann in ihr nicht ausgedrückt werden?
• Warum wird die Prädikatenlogik erster Stufe oft als die privilegierte Logik für die Systematisierung angesehen?
• Was sagen uns Vollständigkeit und Kompaktheit über die Beziehung zwischen Syntax und Semantik?
• Welche philosophischen Kosten und Vorteile ergeben sich aus dem Übergang zur Logik zweiter Stufe?

Key concepts

• wahrheitsfunktionale Konnektive
• Quantoren und Variablen
• Erfüllbarkeit und Modelle
• Vollständigkeit und Kompaktheit
• Löwenheim-Skolem-Sätze
• Logik erster Stufe vs. Logik zweiter Stufe

Key theories

Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe

Gödels Vollständigkeitssatz besagt, dass jede semantische Konsequenz erster Stufe in einem Standard-Deduktionssystem beweisbar ist, sodass Ableitbarkeit und modelltheoretische Gültigkeit für die Prädikatenlogik erster Stufe zusammenfallen.

Orthodoxie erster Stufe

Quine verteidigt die Beschränkung der kanonischen Logik auf die erste Stufe mit der Begründung, dass sie vollständig, ontologisch klar und frei von den mengentheoretischen Verpflichtungen und der Unvollständigkeit der Logik zweiter Stufe ist.

History

Freges Begriffsschrift von 1879 führte die Quantoren-Variablen-Notation und das erste System der Prädikatenlogik ein, das unabhängig von Peirce vorweggenommen wurde. Die Metatheorie wurde im frühen 20. Jahrhundert mit Gödels Vollständigkeitssatz (1929) sowie den Kompaktheits- und Löwenheim-Skolem-Ergebnissen geklärt, woraufhin Quine und andere die Prädikatenlogik erster Stufe als kanonischen logischen Rahmen propagierten.

Debates

Ist die Prädikatenlogik erster Stufe die richtige kanonische Logik?

Ob die Logik auf die erste Stufe beschränkt werden sollte, angesichts ihrer Vollständigkeit und ontologischen Klarheit, oder auf die Logik zweiter Stufe erweitert werden sollte, um eine größere Ausdruckskraft auf Kosten der Vollständigkeit und stärkerer mathematischer Verpflichtungen zu erzielen.

Key figures

• Gottlob Frege
• Kurt Godel
• W. V. O. Quine
• Charles Sanders Peirce
• Herbert Enderton

Seminal works

• frege1879
• quine1986

Frequently asked questions

Was ist der Unterschied zwischen Logik erster und zweiter Stufe?

Die Logik erster Stufe quantifiziert nur über einzelne Objekte in einem Bereich. Die Logik zweiter Stufe erlaubt auch die Quantifizierung über Eigenschaften, Relationen und Funktionen dieser Objekte. Die Logik zweiter Stufe ist weitaus ausdrucksstärker, aber es fehlt ihr ein vollständiges Beweissystem, und sie bringt stärkere mathematische Verpflichtungen mit sich, weshalb viele Philosophen die Logik erster Stufe als kanonisch betrachten.